2019年福州九下质检试题倒一压轴（抛物线与直线及线段最值问题）

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2019年福州九下质检试题倒一压轴

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【福州二检】已知抛物线y=-1/2(x+5)(x-m)(m>0)与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）直接写出点B，C的坐标；（用含m的式子表示）

（2）若抛物线与直线y=x/2交于点E，F，且点E，F关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为25/8时，求m的取值范围．

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【图文解析】

（1）基本题，不解析，答案为：B（m，0），C（0，5m/2）．

（2）法一：由于点E、F在直线y=x/2上，且关于原点对称，因此可设E（2t，t），F(-2t，-t)．又由于点E、F为直线y=x/2与抛物线的交点，因此将E、F点坐标分别代入抛物线的解析成立，得

两方程相减、计算，得

(4t²-2mt+10t-5m)-

(4t²+2mt-10t-5m)=-4t．

即-4mt+24t=0．

-4t(m-6)=0．

∵t≠0，∴m=6．

∴抛物线的解析式为

得-1/2(x+5)(x-m)=x/2……(*)．

整理，得x²+(6-m)x-5m=0．

画出相关的草图，如下图示：

由图象知，当m＞0时，抛物线与直线必有两个交点（也可用上述方程的△＞0判断）．

由于点E、F关于原点对称，所以方程（＊）的两根互为相反数．（下面的解法是为也避开韦达定理，人教版没有要求）

设y=x²+(6-m)x-5m（其图象为抛物线），则当对称轴为y轴时，该抛物线与x轴的交点互为相反数，如下图示：

所以6-m=0，解得m=6．

……

（说明：此法貎似是计算繁琐，其实不然，并不是巧合，而是必然，其中原因留给读者们思考．）

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【原题再现】（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为25/8时，求m的取值范围．

【图文解析】

先求出直线AC的解析式

依题意，得A（-5，0），C（0，5m/2），且m>0，设直线AC为y=kx+b，将A、C两点坐标代入，得 

画出符合题意的草图，显然需分两种情况：

情况一：

当-5≤m≤0时，如下图示：

情况二：

当0＜t≤m时，如下图示：

由于1/2＞0，对称轴为t=-5/2，所以当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，因此当t＝m时，MN的长最大．

由于线段MN长的最大值为25/8．

【拓展延伸】已知抛物线y=-1/2(x+5)(x-m)(m>0)与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

若抛物线与直线y=x/2-1交于点E，F，且点E，F关于点（1，-2）对称，求抛物线的解析式；

（只研讨交流，不做分析，有兴趣的朋友不妨试试，可以留言交流）

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