2020年福建福州九下质检第24题（倒二压轴—圆与等腰直角三角形）试题解析

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第24题（直角与相似、三角函数）

【福州二检】已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°.(1)  如图1，若AE＝DE，　①求证：CD平分∠ACB；　②求AD/DB的值；图1(2)  如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值.

图2

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【图文解析】

(1) ①如下图解：②如下图解：得AD：DB＝DH：DB＝√2：2.(2)法一：将△ACE绕点A顺时针旋转90°，使点C与点B重合，得△ABE′，如下图解：易证得点E、D、E′三点共线，进一步，得到如下图如示的结论：所以tan∠ABE＝AE/BE＝1/2.法二：如下图解（与上述解法本质相同）法三：如下图解：易证△ACE∽△CBE，得AE/AC＝CE/BC，…，tan∠ABE＝…【原题再现】已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°.(2)  如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值.

图2

法四～法十：以45°构造等腰直角三角形，与原等腰直角三角形，构造“旋转相似”（难度差别较大）如下图示：
法十一～法十四—……：以45°构造等腰直角三角形，和原等腰直角三角形斜边上的高分成的两直角三角形，构造“旋转相似”（难度差别较大）如下图示：……，……
思路何止这些？！……其本质是：有多少个45°的角？多少个等腰直角三角形？数不清了？！如果再通过对称、平移、旋转，如果再引入辅助圆，如果再引入坐标系或网格，如果再通过“一线三等角”，如果……，本题的思路“无解”，不对，是无数多个解！其实并非史无前例，凡是与45°角相关的问题均有这些思路，值得好好体会一下！

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