【中考冲刺】(2020版)中难强化提升组合训练(6)——(含填选共4道压轴)

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第1题（二次函数与面积）

【试题1】如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C₁：y=x²（x≥0）和抛物线C₂：y=x²/4（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C₂交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C₁交于点E，F，则S_△OFB：S_△EAD的值为（　　）

【图文解析】

如下图示：

本题思路很明确，必须算出S_△OFB和S_△EAD再求值.为了计算方便，可设B(2m，m²)，则不难得到：

得到BF＝m，AD＝2m，OE＝y_B ＝m²，AB=y_A－y_B=4m²－m²=3m².所以S_△OFB＝0.5BF×OE＝0.5×m×m²＝0.5m³，S_△EAD＝0.5AD×AB＝0.5×2m×3m²＝3m³，因此S_△OFB：S_△EAD＝(0.5m³)：(3m³)＝1/6.故应选D.

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【反思】本题是利用二次函数图象上点的坐标特征来解题，解题中B点设为(2m，m²)，为计算带来极大的方便.

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【拓展练习】如图，垂直于y轴的直线AB分别与抛物线C₁：y=x²（a>0，x≥0）和抛物线C₂：y=x²/4（x≥0）交于B，A两点，过点A作CD∥y轴分别与y轴和抛物线C₁交于点C，D，过点B作EF∥y轴分别与x轴和抛物线C₂交于点E，F，求S_△OFB：S_△EAD的值.（注意与原题的区别）
解法与原题类似，答案为1/4.

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第2题（直角三角形与旋转相似）

【试题2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　  　．21cn
【图文解析】【答案】3 法1：由∠EPF＝∠ABC＝90°，想到有90°建立旋转相似型和矩形，转换边的关系来解决问题．【基本思路】 过点P作PR⊥AB， PS⊥BC，易证△PSF∽△PRE，即有PR∶PS＝PE∶PF＝2．
又结合矩形PRBS，设RB＝PS＝x，则BS＝PR＝2x，由PR∥BC，可证△ARP∽△ABC，即有AP∶AC＝AR∶AB＝RP∶BC，代入得(3－x)∶3＝2x∶4，x＝1.2，所以AP∶AC＝3∶5，AP＝3．【反思1】旋转相似型和A型相似，结合矩形对边相等，对于这类直角三角形斜边上一直角的问题，往往能找出一条解题思路．法2：辅助圆，由四边形对角均为90°，考虑连接EF，以EF为直径作圆，即过E，B，F，P四点．【基本思路】连接EF，以EF中点O为圆心，OE为半径作圆，连接BP，作PG⊥BC于G．E，B，F，P四点共圆，故∠PBE＝∠PFE，tan∠PBE＝tan∠PFE＝PE∶PF＝2，tan∠BAC＝BC/AC＝4/3，设PG＝x，则GA＝3x/4，GB＝x/2，GC＋GB＝4，可得x＝16/5，CG＝12/5，由勾股定理，AP＝3．
【反思2】共斜边直角三角形想圆，辅助圆一出，就可以利用同弧所对的圆周角相等进行换角，利用三角函数解决问题．

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第3题（圆、相似、三角函数，动点定值）

【试题3】在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
【图文解析】（1）①如下图示：△ABN和△ADN中，根据菱形的性质，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．②说明：要求距离和tanα的值，必须转化到直角三角形中，可利用勾股定理和三角函数的定义求解.标注已知条件，作出相应的高，如下图示（同时由△ABN≌△ADN得∠ADN＝∠ABN＝α）.在Rt△AMH中，MH＝AM×sin∠MAH＝4sin60⁰=2×根号3，同时AH＝4cos60⁰=2；在Rt△AMH中，DH＝AD+AH＝6+2=8，MH＝2√3，所以有：
（2）显然要分三种情况即：当DN=AN，DN=AD，AN=AD时，分别进行讨论．每一种情况必须画出相应的图形，再通过转化为直角三角形解决。其中点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．①当DN=AN时，如下图示，此时M点与B点重合，即此时x=6.
②当DN=AD时，如下图示，根据正方形的性质，可得到：
③当AN=AD时，如下图示，此时M点、N点均与C点重合，即此时x=12.
       综上所述，当x=6或12或18﹣6×根号2时，△ADN是等腰三角形．

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【反思】本题较易，但同样综合了相关知识，同时渗透了分类讨论思想，画出符合条件的图形是解题的关键.

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【拓展1】如图，在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．若∠ABC=60°，AM=4，求MN的长．

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【拓展2】如图，在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．若∠ABC=60°，AM+BM＝10，求MN的长．
【解析】类似上述解法，先求得DM的长，再通过相似得到MN的长.答案为：

.

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【拓展3】在原题的（2）的条件下，当x为何值时，△BMN为等腰三角形？△BCN为直角三角形？（本题与原题解法类似，不做解析） 

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第4题（纯二次函数与最值）

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【试题4】已知二次函数y=ax²+bx+c，（1）若a=3，b=2，c=1，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a=3，b=2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若b=0，且当x=1时，有﹣1≤y≤2；当x=2时，有﹣3≤y≤5．试问当x=3时，y的取值范围．（请直接写出答案）

【图文解析】

（1）简析：依题意，得y=3x²+2x+1，令y=0，得到3x²+2x﹣1=0，解得x=﹣1或1/3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1/3，0）．（2）基本思路：首先确保抛物线与x轴有交点，再讨论在﹣1＜x＜1的范围内交点的情况：利用抛物线的“连续不间断性”，根据在当x=－1和1的函数值的符号来确定.当a=3，b=2时，抛物线为y＝3x²+2x+c，因抛物线与x轴有公共点，因此判别式△=4﹣12c≥0，解得c≤1/3．①当c=1/3时，如下图示：由方程3x²+2x+1/3=0，解得x₁=x₂=﹣1/3．此时抛物线与x轴只有一个公共点（﹣1/3，0），符合题意.
②当c＜1/3时，当x₁=-1时，y₁=3﹣2+c=1+c；当x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c；所以当抛物线经过（-1，0）时，1+c =0，c=-1，当抛物线经过（1，0）时，5+c＝0，得c=－5.如下图示：

﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=﹣1/3，应有y₁≤0，且y₂＞0. 如下图示，

    综合①，②，得c的取值范围是：c=1/3或﹣5＜c≤﹣1．（3）首先由已知，不难得到：由当x=1时，﹣1≤y≤2得：
﹣1≤a﹣c≤2……①由当x=2时，﹣3≤y≤5得：﹣1≤4a﹣c≤5……② 而当x=3时，y=9a﹣c.接下来，要想方设法用不等式①和②求出9a﹣c的取值范围。当然可以先分别求a和c的取值范围、再代入求出——相对较繁较难；也可将9a﹣c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式，然后利用不等式的性质，用“a﹣c”和“4a﹣c”整体代入求出9a﹣c的取值范围。为此可设9a﹣c=m(a﹣c)+n(4a﹣c)(m、n为常数).化简整理得，9a﹣c＝（m+4n）a+(m+n)c.则有：结合①和②，可得： 【反思】抛物线与x轴的交点的坐标特点及二次函数的性质（增减性即单调性（高中概念））、不等式的性质等知识，解题的关键是：①用分类讨论的思想思考问题，②将9a－c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式——用的方法就是方程思想.觉得作者辛苦，右下角点个在看吧  


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