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【中考冲刺】(2020版)中难强化提升组合训练(6)——(含填选共4道压轴)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第1题(二次函数与面积)

【试题1】如图,垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2(x≥0)和抛物线C2:y=x2/4(x≥0)交于A,B两点,过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E,F,则S△OFB:S△EAD的值为(  )

【图文解析】

如下图示:

本题思路很明确,必须算出S△OFB和S△EAD再求值.为了计算方便,可设B(2m,m2),则不难得到:

得到BF=m,AD=2m,OE=yB =m2,AB=yA-yB=4m2-m2=3m2.所以S△OFB=0.5BF×OE=0.5×m×m2=0.5m3,S△EAD=0.5AD×AB=0.5×2m×3m2=3m3,因此S△OFB:S△EAD=(0.5m3):(3m3)=1/6.故应选D.
【反思】本题是利用二次函数图象上点的坐标特征来解题,解题中B点设为(2m,m2),为计算带来极大的方便.

【拓展练习】如图,垂直于y轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2(a>0,x≥0)和抛物线C2:y=x2/4(x≥0)交于B,A两点,过点A作CD∥y轴分别与y轴和抛物线C1交于点C,D,过点B作EF∥y轴分别与x轴和抛物线C2交于点E,F,求S△OFB:S△EAD的值.(注意与原题的区别)

解法与原题类似,答案为1/4.

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第2题(直角三角形与旋转相似)

【试题2】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,Rt△MPN,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=    .21cn


【图文解析】【答案】3 法1:由∠EPF=∠ABC=90°,想到有90°建立旋转相似型和矩形,转换边的关系来解决问题.【基本思路】

 过点P作PR⊥AB, PS⊥BC,易证△PSF∽△PRE,即有PR∶PS=PE∶PF=2.
又结合矩形PRBS,设RB=PS=x,则BS=PR=2x,由PR∥BC,可证△ARP∽△ABC,即有AP∶AC=AR∶AB=RP∶BC,代入得(3-x)∶3=2x∶4,x=1.2,所以AP∶AC=3∶5,AP=3.【反思1】旋转相似型和A型相似,结合矩形对边相等,对于这类直角三角形斜边上一直角的问题,往往能找出一条解题思路.法2:辅助圆,由四边形对角均为90°,考虑连接EF,以EF为直径作圆,即过E,B,F,P四点.【基本思路】

连接EF,以EF中点O为圆心,OE为半径作圆,连接BP,作PG⊥BC于G.E,B,F,P四点共圆,故∠PBE=∠PFE,tan∠PBE=tan∠PFE=PE∶PF=2,tan∠BAC=BC/AC=4/3,设PG=x,则GA=3x/4,GB=x/2,GC+GB=4,可得x=16/5,CG=12/5,由勾股定理,AP=3.
【反思2】共斜边直角三角形想圆,辅助圆一出,就可以利用同弧所对的圆周角相等进行换角,利用三角函数解决问题.

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第3题(圆、相似、三角函数,动点定值)

【试题3】在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿ABC向终点C运动,连接DM交AC于点N.(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:①求证:△ABN≌△ADN;②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD的距离及tanα的值.(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.


【图文解析】(1)①如下图示:

△ABN和△ADN中,根据菱形的性质,不难得出AB=AD,∠DAC=∠CAB,AN是公共边,根据SAS即可判定两三角形全等.②说明:要求距离和tanα的值,必须转化到直角三角形中,可利用勾股定理和三角函数的定义求解.标注已知条件,作出相应的高,如下图示(同时由△ABN≌△ADN得∠ADN=∠ABN=α).

在Rt△AMH中,MH=AM×sin∠MAH=4sin600=2×根号3,同时AH=4cos600=2;在Rt△AMH中,DH=AD+AH=6+2=8,MH=2√3,所以有:

(2)显然要分三种情况即:当DN=AN,DN=AD,AN=AD时,分别进行讨论.每一种情况必须画出相应的图形,再通过转化为直角三角形解决。其中点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).①当DN=AN时,如下图示,

此时M点与B点重合,即此时x=6.
②当DN=AD时,如下图示,

根据正方形的性质,可得到:

③当AN=AD时,如下图示,

此时M点、N点均与C点重合,即此时x=12.
       综上所述,当x=6或12或18﹣6×根号2时,△ADN是等腰三角形.
【反思】本题较易,但同样综合了相关知识,同时渗透了分类讨论思想,画出符合条件的图形是解题的关键.

【拓展1】如图,在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A⇒B⇒C向终点C运动,连接DM交AC于点N.若∠ABC=60°,AM=4,求MN的长.


【拓展2】如图,在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A⇒B⇒C向终点C运动,连接DM交AC于点N.若∠ABC=60°,AM+BM=10,求MN的长.

【解析】类似上述解法,先求得DM的长,再通过相似得到MN的长.答案为:

.


【拓展3】在原题的(2)的条件下,当x为何值时,△BMN为等腰三角形?△BCN为直角三角形?(本题与原题解法类似,不做解析) 


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第4题(纯二次函数与最值)

【试题4】已知二次函数y=ax2+bx+c,(1)若a=3,b=2,c=1,求该抛物线与x轴的交点坐标;(2)若a=3,b=2,且当﹣1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围;(3)若b=0,且当x=1时,有﹣1≤y≤2;当x=2时,有﹣3≤y≤5.试问当x=3时,y的取值范围.(请直接写出答案)

【图文解析】

(1)简析:依题意,得y=3x2+2x+1,令y=0,得到3x2+2x﹣1=0,解得x=﹣1或1/3,所以抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1,0)和(1/3,0).(2)基本思路:首先确保抛物线与x轴有交点,再讨论在﹣1<x<1的范围内交点的情况:利用抛物线的“连续不间断性”,根据在当x=-1和1的函数值的符号来确定.当a=3,b=2时,抛物线为y=3x2+2x+c,因抛物线与x轴有公共点,因此判别式△=4﹣12c≥0,解得c≤1/3.①当c=1/3时,如下图示:

由方程3x2+2x+1/3=0,解得x1=x2=﹣1/3.此时抛物线与x轴只有一个公共点(﹣1/3,0),符合题意.
②当c<1/3时,当x1=-1时,y1=3﹣2+c=1+c;当x2=1时,y2=3+2+c=5+c;所以当抛物线经过(-1,0)时,1+c =0,c=-1,当抛物线经过(1,0)时,5+c=0,得c=-5.如下图示:

﹣1<x<1时,该抛物线与x轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为x=﹣1/3,应有y1≤0,且y2>0. 如下图示,

 

    综合①,②,得c的取值范围是:c=1/3或﹣5<c≤﹣1.(3)首先由已知,不难得到:由当x=1时,﹣1≤y≤2得:
﹣1≤a﹣c≤2……①
由当x=2时,﹣3≤y≤5得:﹣1≤4a﹣c≤5……② 而当x=3时,y=9a﹣c.接下来,要想方设法用不等式①和②求出9a﹣c的取值范围。当然可以先分别求a和c的取值范围、再代入求出——相对较繁较难;也可将9a﹣c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式,然后利用不等式的性质,用“a﹣c”和“4a﹣c”整体代入求出9a﹣c的取值范围。为此可设9a﹣c=m(a﹣c)+n(4a﹣c)(m、n为常数).化简整理得,9a﹣c=(m+4n)a+(m+n)c.则有:

结合①和②,可得: 【反思】抛物线与x轴的交点的坐标特点及二次函数的性质(增减性即单调性(高中概念))、不等式的性质等知识,解题的关键是:①用分类讨论的思想思考问题,②将9a-c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式——用的方法就是方程思想.觉得作者辛苦,右下角点个在看吧  


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