2020年福建莆田九下质检压轴试题(含填选共4道）解析

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第10题（二次函数的性质与方程）

【莆田质检】抛物线y=ax²+4x+c(a>0)经过点（x₀，y₀），且x₀满足关于x的方程ax+2=0，则下列选项正确的是（　）.A.对于任意实数x都有y≥y₀B.对于任意实数x都有y≤y₀C.对于任意实数x都有y＞y₀D.对于任意实数x都有y＜y₀

【解析】抛物线的对称轴为x=-2/a，由“x₀满足关于x的方程ax+2=0”，得x₀=-2/a.进一步，得：抛物线的对称轴x=-2/a=x₀，所以点（x₀，y₀）即为抛物线的顶点.

又a>0，得：函数y=ax²+4x+c(a>0)有最小值为y₀，所以对于任意实数x都有y≥y₀.故答案应选A.

第16题（反比例函数与平行四边形、面积）

【莆田质检】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的对角线交于点D，双曲线y=k/x(x>0)经过C、D两点，双曲线y=8/x（x>0）经过点B，则平行四边形OABC的面积为___________.

【视频解析】

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下面是图文解析部分：

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【图文解析】如下图示：

由题意，得2m×2n=8,得mn=2.所以平行四边形的面积为3m/2×2n=3mn=6.

第24题（四边形与相似、三角函数及辅助圆）

【莆田质检】如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，∠ABC＝∠ADC，在BC的延长线上取点E，使得DC＝DE.

（1）如图1，当AD∥BC时，求证：①∠ABC＝∠DEC；②CE＝2BC；（2）如图2，若tan∠ABC＝4/3，BE＝10，设AB＝x，BC＝y，求y与x的函数表达式.

【视频解析】

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下面是图文解析部分：

【图文解析】
（1）如下图解：（2）如下图示：
（为了计算方便，将AB＝x设为5t）
由△ACG∽△DCA，得AH:AG=AD:AC=3:4.法一：如下图示：得y-3t+a＝3t.即2y+2a=12t.
将5t=x，2a=10-y，代入，得2y+10-y=12x/5.所以y=12x/5-10.又0＜BC(＝y)<10，得25/6＜x<25/3.综上，所求的函数表达式为：y=12x/5-10(25/6<x<25/3).法二：如下图解：法二：如下图解：
 



第25题（纯函数｜抛物线、直线与定点、外心）
【莆田质检】已知抛物线F₁：y=x²-4与抛物线F₂：y=ax²-4a(a≠1).（1）直接写出抛物线F₁与抛物线F₂有关图象的两条相同性质；（2）抛物线F₁与x轴交于A、B两点（点B在点A的右边），直线BC交抛物线F₁于点C（点C与点B不重合），点D是抛物线F₂的顶点.①若点C为抛物线F₁的顶点，且点C为△ABD的外心，求a的值；②设直线BC的解析式为y=kx+b，若k+2a＝4，则直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【视频解析】

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下面是图文解析部分：

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【图文解析】
（1）如下图示：共同的性质有：对称轴都是y轴（或顶点在y轴上或顶点的横坐标为0），都经过（-2，0）和（2，0），与x轴两交点的距离为4，…
（顶点、对称轴，与x轴的交点相关等）（2）①依题意，得D（0，-4a）,C(0,-4). 当点C为抛物线F₁的顶点，且点C为△ABD的外心时，分以下两种情况：易求得D（0，-4-2√5）或（0，2√5-4）.
即-4a=-4-2√5或2√5-4.所以a=(2+√5)/2或(2-√5)/2.②如下图示，直线BC：y=kx+b经过点B（2，0），得2k+b=0，得b=-2k，所以直线为y=kx-2k=k(x-2).抛物线F₁：y=x²-4=(x+2)(x-2).联立直线BC与抛物线F₁的解析式，得(x+2)(x-2)= k(x-2).因式分解，得(x-2)[x+2-k]=0.解得x₁=2，x₂=k-2.所以x_C=k-2.得y_C=k(k-2-2)=k²-4k.所以C(k-2，k²-4k).另一方面，点D的坐标为（0，-4a）又由k+2a＝4得2a=4-k.得-4a＝2k-8.所以D（0，2k-8）.设直线CD为y=mx+2k-8，将点 C(k-2，k²-4k)代入，得m(k-2)+2k-8=k²-4k.整理，得m(k-2)=k²-6k+8.因式分解，得m(k-2)= (k-2)(k-4).当k=2时，点D为（0，0），此时点A、D（原点）、B构造不了抛物线F₂，即k≠2.所以m=k-4.又点C与点B重合，得k-2≠2，所以k≠4.所以直线CD为：y=(k-4)x+2k-8且 k≠4.即y=(k-4)x+2(k-4)=(k-4)(x+2).所以直线恒经过点（-2，0）. 其他情形的图如下所示：法二：如下图示：由（1）知：A（-2，0）.
同法一得C(k-2，k²-4k),D（0，2k-8）.则OA＝2，OD＝|2k-8|,AE=|k|,CE=|k²-4k|.则tan∠OAD＝OD/OA＝|k-4|,tan∠OAC＝CE/AE＝|k-4|,因k≠4，得tan∠OAD＝tan∠OAC.得∠OAD＝∠OAC.所以点A、C、D在同一直线上，即直线CD恒经过点A（-2，0）.

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