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2020年福建莆田九下质检压轴试题(含填选共4道)解析

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第10题(二次函数的性质与方程)

【莆田质检】抛物线y=ax2+4x+c(a>0)经过点(x0,y0),且x0满足关于x的方程ax+2=0,则下列选项正确的是( ).A.对于任意实数x都有y≥y0B.对于任意实数x都有y≤y0C.对于任意实数x都有y>y0D.对于任意实数x都有y<y0


【解析】抛物线的对称轴为x=-2/a,由“x0满足关于x的方程ax+2=0”,得x0=-2/a.进一步,得:抛物线的对称轴x=-2/a=x0,所以点(x0,y0)即为抛物线的顶点.

又a>0,得:函数y=ax2+4x+c(a>0)有最小值为y0,所以对于任意实数x都有y≥y0.故答案应选A.

第16题(反比例函数与平行四边形、面积)

【莆田质检】如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的对角线交于点D,双曲线y=k/x(x>0)经过C、D两点,双曲线y=8/x(x>0)经过点B,则平行四边形OABC的面积为___________.

【视频解析】

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下面是图文解析部分:


【图文解析】如下图示:

由题意,得2m×2n=8,得mn=2.所以平行四边形的面积为3m/2×2n=3mn=6.

第24题(四边形与相似、三角函数及辅助圆)

莆田质检】如图,在四边形ABCD中,AC⊥AD,∠ABC=∠ADC,在BC的延长线上取点E,使得DC=DE.

(1)如图1,当AD∥BC时,求证:①∠ABC=∠DEC;②CE=2BC;

(2)如图2,若tan∠ABC=4/3,BE=10,设AB=x,BC=y,求y与x的函数表达式.


【视频解析】

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下面是图文解析部分:

【图文解析】
(1)如下图解:

(2)如下图示:

(为了计算方便,将AB=x设为5t)
由△ACG∽△DCA,得AH:AG=AD:AC=3:4.法一:如下图示:

得y-3t+a=3t.即2y+2a=12t.
将5t=x,2a=10-y,代入,得2y+10-y=12x/5.所以y=12x/5-10.又0<BC(=y)<10,得25/6<x<25/3.综上,所求的函数表达式为:y=12x/5-10(25/6<x<25/3).法二:如下图解:

法二:如下图解:
 






第25题(纯函数|抛物线、直线与定点、外心)
【莆田质检】已知抛物线F1:y=x2-4与抛物线F2:y=ax2-4a(a≠1).(1)直接写出抛物线F1与抛物线F2有关图象的两条相同性质;(2)抛物线F1与x轴交于A、B两点(点B在点A的右边),直线BC交抛物线F1于点C(点C与点B不重合),点D是抛物线F2的顶点.①若点C为抛物线F1的顶点,且点C为△ABD的外心,求a的值;②设直线BC的解析式为y=kx+b,若k+2a=4,则直线CD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

【视频解析】

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下面是图文解析部分:


【图文解析】
(1)如下图示:

共同的性质有:对称轴都是y轴(或顶点在y轴上或顶点的横坐标为0),都经过(-2,0)和(2,0),与x轴两交点的距离为4,…
(顶点、对称轴,与x轴的交点相关等)(2)①依题意,得D(0,-4a),C(0,-4). 当点C为抛物线F1的顶点,且点C为△ABD的外心时,分以下两种情况:

易求得D(0,-4-2√5)或(0,2√5-4).
即-4a=-4-2√5或2√5-4.所以a=(2+√5)/2或(2-√5)/2.②如下图示,

直线BC:y=kx+b经过点B(2,0),得2k+b=0,得b=-2k,所以直线为y=kx-2k=k(x-2).抛物线F1:y=x2-4=(x+2)(x-2).联立直线BC与抛物线F1的解析式,得(x+2)(x-2)= k(x-2).因式分解,得(x-2)[x+2-k]=0.解得x1=2,x2=k-2.所以xC=k-2.得yC=k(k-2-2)=k2-4k.所以C(k-2,k2-4k).另一方面,点D的坐标为(0,-4a)又由k+2a=4得2a=4-k.得-4a=2k-8.所以D(0,2k-8).设直线CD为y=mx+2k-8,将点 C(k-2,k2-4k)代入,得m(k-2)+2k-8=k2-4k.整理,得m(k-2)=k2-6k+8.因式分解,得m(k-2)= (k-2)(k-4).当k=2时,点D为(0,0),此时点A、D(原点)、B构造不了抛物线F2,即k≠2.所以m=k-4.又点C与点B重合,得k-2≠2,所以k≠4.所以直线CD为:y=(k-4)x+2k-8且 k≠4.即y=(k-4)x+2(k-4)=(k-4)(x+2).所以直线恒经过点(-2,0). 其他情形的图如下所示:

 

法二:如下图示:

由(1)知:A(-2,0).
同法一得C(k-2,k2-4k),D(0,2k-8).则OA=2,OD=|2k-8|,AE=|k|,CE=|k2-4k|.则tan∠OAD=OD/OA=|k-4|,tan∠OAC=CE/AE=|k-4|,因k≠4,得tan∠OAD=tan∠OAC.得∠OAD=∠OAC.所以点A、C、D在同一直线上,即直线CD恒经过点A(-2,0).

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