2020年福建龙岩上杭九下质检压轴试题(含填选共4道）解析

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第10题（等腰直角三角形与旋转）

【上杭质检】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B，则C′B的长是（　）.
A.√3-1   B.3/2   C. 3-√3   D.3√3

【图文解析】

法一：C′B＝3-√3.故答案应选C. 如下图解：法二：如下图解：
法三：如下图解：
法四：如下图解：
在Rt△BC′H中，由勾股定理，得
C′B²＝BH²+C′H²＝…　　＝12-6√3＝(3-√3)².得C′B＝3-√3.

第16题（反比例函数与相似、三角函数）

【上杭质检】16.如图，矩形OABC的面积为100/3，它的对角线OB与双曲线y=k/x相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=________.【图文解析】因OB：OD＝5：3，可得如下图的相关结论：得D（3m，3n）, B（5m，5n）.则BC＝5m，AB＝5n.由矩形面积公式，得5m×5n=100/3，解得mn=4/3，则k=3m×3n=9mn=12.

第24题（圆与三角函数）【上杭质检】如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为点F.⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G.（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若AB=3，BC=4，AE=1，求⊙O的半径.

【图文解析】

（1）如下图解，（2）如下图示：

AF＝ADsin∠ADE＝4×1/√17＝4/√17.

DF＝Adcos∠ADE＝4×4/√17＝16/√17.

进一步，由△AFG∽△DFC，可得到：

AG＝AF×CD/DF＝3/4.最后再利用勾股定理，可求得CG的长，得到⊙O的半径，如下图示.答案：⊙O的半径为√313/8.第25题（抛物线与定线、定角）【上杭质检】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=0.5x²－mx+0.5m²+m－2.（1）若抛物线的顶点C在y轴上，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）当（2）中的直线与x轴交于点B时，（1）中的抛物线上是否存在点P，使得∠PCB=15°，若存在，求出其坐标：若不存在，请说明理由.

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【图文解析】

（1）由“顶点在y轴上”，得抛物线的对称轴为直线x=0，得m=0.所以抛物线的解析式为y=0.5x²-2.（2）配方，得y=0.5(x-m)²+m-2.得顶点C（m，m-2）.法一：特殊值法，取两个特殊值，如m=0或1，得点C的坐标分别为（0，-2）和（1，-1），求出过这两点的直线为y=x-2.再将（m，m-2）代入检验确定结论.法二：可设x=m，y=m-2，则y=m-2=x-2，所以不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上.（3）由题意，得B（2，0）.C（0， -2）.如下图示：分两种情况：分别将所得到的点P₁和点P₂分别代入抛物线y=0.5x²-2，求得t或m的值，进一步，得所求符合条件的点P的坐标，答案为（2√3，4）或（2√3/3，-4/3）.
另解：也可通过点C和与x轴交点的坐标，先求出直线CP的解析式，现联立直线CP与抛物线的解析式求解.
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