2020年福建厦门九下质检压轴试题(含填选共4道）解析

【图文解析】法一：由“x₁>1，x₂-x₁=4”得x₂＝x₁+4>5.则抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2=(2x₁+4)/2=x₁+2>3.所以当1≤x≤3时，该函数的图象位于对称轴的左侧，因函数y随x的增大而减小，所以当x=3时，该函数在1≤x≤3范围内取得最小值.即m=3²+2b×3+4=6b+13.故答案应选C.法二：不难画出符合条件的草图，如下图示：

根据图象可得：当1≤x≤3时，图象位于对称轴x=-b的左侧，所以当x=3时，该函数在1≤x≤3范围内取得最小值.即m=3²+2b×3+4=6b+13.故答案应选C.
上述解答是“将错就错”的解答.（试题本意应为考查二次函数的性质(对称性与最值)，但在数据的选取上出了点错误，若将4改为含参字母，难度会加大）.实际上，根据求根公式或韦达定理，可求得x₂-x₁=√(4b²-16)=4，得b=-2√2(负值，舍去)，得：该函数图象的对称轴为x=2√2，所以x₁=2√2-2＜1，不可能符合题目中条件x₁>1.故本题应为极易出现错误的试题，编题有“风险”，稍不留意就有可能出现一些低级易犯的错误，真是防不胜防.

第16题（反比例函数与面积）

【厦门质检】如图，点P在双曲线y=k₁/x(x>0)上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别与双曲线y=k₂/x(0<k₂<k₁，x>0)交于点C，D，DN⊥x轴于点N.若PB＝3PD，S_{四边形PDNC}＝2，则k₁=______.

【图文解析】如下图解：

由S_{四边形PDNC}＝2，得0.5(n+3n)×m=2.得mn=1.k₁=x_P×y_P=3m×3n=9mn＝9.注：若连接AB和CD，则上述图形中有常见的结论CD∥AB（可用面积或平行线的基本性质证明），得PD：BD＝PC：AC，….

第24题（圆与相似、三角函数）

【厦门质检】在□ABCD中，∠ABC是锐角，过A，B两点以r为半径作⊙O.

（1）如图1，对角线AC，BD交于点M，若AB＝BC＝2，且⊙O过点M，求r的值；（2）⊙O与边BC的延长线交于点E，DO的延长线交⊙O于点F，连接DE，EF，AC.若∠CAD＝45°，弧AE的长为πr/2，当CE＝√2AB时，求∠DEF的度数.（提示：可在备用图上补全示意图）

【图文解析】

（1）如下图解：

易证AB是⊙O的直径，得r=0.5AB=1.（2）由弧AE的长为πr/2，可求的∠AOE＝90°，结合已知条件，可得如下图所示的结论.

进一步，可得以下结论：

最后，再通过全等△AOB≌△DOE（SAS）或△AOC≌△DOC，得OD＝OA＝半径，得点D在⊙O上，所以∠DEF＝90°.如下图示：

第25题（纯函数、新定义与直线位置关系、性质）

【厦门质检】在平面直角坐标系中，点(p，tq)与点(q,tp)(t≠0)称为一对泛对称点.（1）若点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，求a的值；（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；（3）抛物线y=ax²+bx+c(a<0)交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合）,过点M的直线y=ax+m与此抛物线交于另一点N.对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点M(x_M，y_M),N(x_N，y_N)探究当y_M>y_N时，x_M的取值范围；若不是，请说明理由.

【图文解析】

题干解读：理解新定义，当p≠0，q≠0时，由p×tq=q×tp=pqt，得一对泛对称点，在同一双曲线上，当p=0或q=0时，则分别在两坐标轴上.（1）法一：设t≠0，依题意，得a=t且3t=2.解得a=t=2/3.法二：依题意，得1×2＝3a.解得a=2/3.（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p,tq），Q（q,tp），其中0＜p＜q，t＞0.法一：如下图示：

分别在两直角三角形中，由tan∠1＝PC/BC＝t，tan∠2＝PC/CQ＝t，所以∠1＝∠2，所以AB∥PQ.
法二：如下图示：

设直线AB为y=k₁x+tp，将点（p，0）代入，得k₁p+tp=0,得k₁=-t.
设直线PQ为y=k₂(x-p)+tq(根据点P坐标)，将Q（q，tp）代入，得k₂(q-p)+tq= tp.即k₂(q-p)＝= -t（q-p），得k₂=-t＝k₁.所以PQ∥AB.法三：点P、Q在双曲线y=k/x上，其中k=tpq>0.如下图示：

因S_△ABQ＝S_△OBQ＝k/2. S_△ABP＝S_△OAP＝k/2.
所以S_△ABQ＝S_△ABP，进一步，易证得PQ∥AB.【试题再现】（3）抛物线y=ax²+bx+c(a<0)交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合）,过点M的直线y=ax+m与此抛物线交于另一点N.对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点M(x_M，y_M),N(x_N，y_N)探究当y_M>y_N时，x_M的取值范围；若不是，请说明理由.【图文解析】（3）如下图示（以下提供两符合题意的草图，仅为了思考时带来方便）

或：

依题意，得C(0，c).根据抛物线的对称，得M(-b/a，c)，其中b≠0（因点M与点D不重合）.由“过点M的直线为y=ax+m”得c=a×(-b/a)+m，解得m=b+c，所以过点M的直线为y=ax+b+c.联立直线MN与抛物线解析式，得ax²+bx+c＝ax+b+c.因式分解，得(ax+b)(x-1)=0.解得x₁=-b/a，x₂=1.所以x_N=1，且-b/a≠1.进一步，得N(1，a+b+c)，且a+b≠0.要使M(-b/a，c)与N(1，a+b+c)是一对泛对称点，由题干分析知：需-b/a×c＝a+b+c.移项，得a+b=-bc/a-c去分母，得a(a+b)=-c(a+b).因为a＋b≠0（前面已说明），所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.下面求解：对所有的泛对称点M(x_M，y_M),N(x_N，y_N)探究当y_M>y_N时，x_M的取值范围.由上述分析，知：当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.此时M(-b/a，-a)，N(1，b).当y_M>y_N即-a>b时，因a<0，两边都除以-a（为正数），得1＞-b/a，所以-b/a＜1，即x_M<1.又b≠0，所以x_M<1且x_M≠0.如下图示：

（另解：M，N两点都在函数y＝b/x（b≠0）的图象上. 因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y_M＞y_N时，0＜x_M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y_M＞y_N，此时x_M＜0.）综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x_M,y_M），N（x_N,y_N），当y_M＞y_N时，x_M的取值范围是x_M＜1且x_M≠0.

注：如果想获取原试题与原答案和本文课件，请关注公众号后，发送“2020年九下厦门质检”，即可获得下载地址.

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