【中考冲刺】（2020版）中难强化提升(4道压轴)组合训练（4）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第1题（一次函数及分段函数的性质）

【试题1】一次函数y=-x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=1/x（-10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x₁，y₁），（x₂，y₂）是图象上两个不同的点，若y₁=y₂，则x₁+x₂的取值范围是（　　）

【图文解析】首先求出当y₁=y₂时x的取值范围.由一次函数y=－x+1（0≤x≤10）得－9≤y≤1，由反比例函数y=1/x（-10≤x＜0）得y≤－0.1，如下图示，结合数轴知，－9≤y₁=y₂≤－0.1.

不妨设x₁<x₂，则由y=－x+1（0≤x≤10）和y=1/x（-10≤x＜0）得:x₁=1/y₁，x₂=1－y₂，当y₁=y₂（设为t），x₁+x₂ (不设为x) =1/t+1－t.
即x=1/t－t+1 (－9≤t≤－0.1).因此求“若y₁=y₂，则x₁+x₂的取值范围”就转化为：求x=1/t－t+1 (－9≤t≤－0.1)的x的值的取值范围.下面说明x随t的变化情况：设－9≤m<n≤－0.1，则对应的函数值x_m和S_n有：

由－9≤m<n≤－0.1知:mn>0，m－n<0，得到－(m－n)>0，mn+1>0，得到x_m－x_n＞0，即当－9≤m<n≤－0.1时，x_m＞x_n，所以x随t的增大而减小.

【思考】一次函数y=-x+1（0≤x≤10）与反比例函数y=1/x（-10≤x＜0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点（x₁，y₁），（x₂，y₂）是图象上两个不同的点，且x₁＜x₂，若y₁=y₂，求2x₂－0.5x₁的取值范围.

答案：4≤2x₂－0.5x₁≤361/18.

第2题（等边三角形与旋转）

【试题2】如图，等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是射线AD上一点，以BE为边作Rt△BEF，使得∠BEF=90°，且tan∠BFE=1/2，若AB=2，则AF的最小值为 .

【图文解析】（典型旋转相似问题）如下图示：延长DA至G，使DG：BD＝2：1.

易求得AD＝√3BD＝√3，DG＝2BD＝2，BG=√5.
易证△BEF∽△BDA，得BF：BG＝BE：BD，且∠FBE＝∠GBD，进一步，可证△BFG∽△BED，如下图示：

所以∠BGF＝∠BDA＝90°（定角），所以点F在过G点且与BG垂直的射线上运动.如上图示，根据“垂线段最短”得：AH的长即为所求的最小值的线段长.在Rt△AGH中，AG=DG-DA=2-√3，cos∠GAH=cos∠BGD=DG/BG=2/√5.所以AH=AG×cos∠GAH=(2-√3)×2/√5=(4√5-2√15)/5.

第3题（圆与相似、三角函数）

【试题3】有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=0.5∠D，∠C=0.5∠A，求∠B与∠C的度数之和；
（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD=BO，∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE=2∠EAF．求证：四边形DBCF是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，当DH=BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

【图文解析】（1）如下图示：

由四边形的内角和为360°得：3x+3y=360°，化简得x+y=120°，即∠B+∠C=120°.
（2）如下图示，

如上图示，不难证得：△BOE≌△BDE，得∠1＝∠2，又在⊙O中，∠C＝0.5∠2，所以∠C＝0.5∠1.
下证∠DBC＝0.5∠DFC.如下图示，

有∠3＝180⁰－2m，∠DFC＝180⁰－2m，从而∠DFC＝∠3.又在⊙O中，根据圆周角定理，得∠DBC＝0.5∠3，所以∠DBC＝0.5∠DFC.
综上，∠C＝0.5∠1和∠DBC＝0.5∠DFC，得到四边形DBCF是半对角四边形.（3）如下图示，由半对角四边形DBCF的定义知：∠ABC+∠ACB＝120⁰，

所以∠A＝60°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°……，如下图示.

如下图示，进一步得△BDG∽△BCA.所以S_△BDG：S_△ABC＝BD²：BC².

又（如下图示）

得BD：BC＝1：根号3.所以S_△BDG：S_△ABC＝1：3.即S_△ABC＝3S_△BDG.
下面求△BGH与△BDG的面积比：如下图示，可得GH：DG=1：3.

进一步地，得S_△BGH：S_△BDG＝1：3，即S_△BDG＝3S_△BGH.
综上，S_△ABC＝3S_△BDG＝9S_△BGH.所以S_△BGH：S_△ABC＝1：9.
第4题（纯二次函数与最值）【试题4】已知抛物线y₁=x²+（m+2）x+m+1，直线y₂=mx+m（m<0）.（1）当m=2时，求抛物线与x轴交点的坐标；（2）直线是否可能经过抛物线的顶点，如果可能，请求出m的值，如果不可能，请说明理由；（3）记S=|y₂|-|y₁|，当－1≤x≤m+3时，求S的最大值.

【图文解析】（1）基础题，不解析.答案为（-1，0）和（-3，0）.（2）法一：通过配方，求得抛物线的顶点坐标为（-(m+2)/2，-m²/4）.代入直线解析式y₂=mx+m（m<0）,得-m(m+2)/2+m＝-m²/4.解得m=0.因m<0，所以直线不可能经过抛物线的顶点.法二：联立直线与抛物线解析式，得x²+（m+2）x+m+1=mx+m.整理，得x²+2x+1=0，解得x₁=x₂=-1.得抛物线与直线只有一个交点是（-1，0）.又m<0，直线y=mx+m不可能平行于y轴，所以交点为（-1，0）不可能是顶点，所以……（3）当y₁=0，因式分解，得（x+1）（x+m+1）=0.解得x₁=1，x₂＝－m-1.根据（2）的法二，知：抛物线与直线只有一个交点，综上，可画出符合题意的草图，如下图示：

所以当x≥-1时，

｜y₂_｜=－mx－m.
下面分两种情况说明：情况一：当－1≤m+3<-(m+1)，即-4≤m<-2时，如下图示：

S=|y₂|-|y₁|＝…
＝x²+2x+1=(x+1)².S随x的增大而增大（x≥-1）.当x=m+3时，S_最大＝(m+4)².而-4≤m<-2，所以0≤S＜4.情况二：当－1＜m+1<m+3，即-2≤m<0时，如下图示：

S＝…＝-[x+m+1]²+m².
当x=-m-1时，S_最大＝m².而-2≤m<0，所以0＜S≤4.综上所述，S的最大值为4.

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