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【中考冲刺】(2020版)中难强化提升(4道压轴)组合训练(4)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第1题(一次函数及分段函数的性质)

【试题1一次函数y=-x+1(0≤x≤10)与反比例函数y=1/x(-10≤x<0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,点(x1,y1),(x2,y2)是图象上两个不同的点,若y1=y2,则x1+x2的取值范围是(  )


【图文解析】首先求出当y1=y2时x的取值范围.由一次函数y=-x+1(0≤x≤10)得-9≤y≤1,由反比例函数y=1/x(-10≤x<0)得y≤-0.1,如下图示,结合数轴知,-9≤y1=y2≤-0.1.

不妨设x1<x2,则由y=-x+1(0≤x≤10)和y=1/x(-10≤x<0)得:x1=1/y1,x2=1-y2,当y1=y2(设为t),x1+x2 (不设为x) =1/t+1-t.
即x=1/t-t+1 (-9≤t≤-0.1).因此求“若y1=y2,则x1+x2的取值范围”就转化为:求x=1/t-t+1 (-9≤t≤-0.1)的x的值的取值范围.下面说明x随t的变化情况:设-9≤m<n≤-0.1,则对应的函数值xm和Sn有:由-9≤m<n≤-0.1知:mn>0,m-n<0,得到-(m-n)>0,mn+1>0,得到xm-xn>0,即当-9≤m<n≤-0.1时,xm>xn,所以x随t的增大而减小.
【思考】一次函数y=-x+1(0≤x≤10)与反比例函数y=1/x(-10≤x<0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,点(x1,y1),(x2,y2)是图象上两个不同的点,且x1<x2,若y1=y2,求2x2-0.5x1的取值范围.

答案:4≤2x2-0.5x1≤361/18.

第2题(等边三角形与旋转)

【试题2如图,等边三角形ABC中,D是BC边的中点,E是射线AD上一点,以BE为边作Rt△BEF,使得∠BEF=90°,且tan∠BFE=1/2,若AB=2,则AF的最小值为        .




【图文解析】(典型旋转相似问题)如下图示:延长DA至G,使DG:BD=2:1.

易求得AD=√3BD=√3,DG=2BD=2,BG=√5.
易证△BEF∽△BDA,得BF:BG=BE:BD,且∠FBE=∠GBD,进一步,可证△BFG∽△BED,如下图示:

所以∠BGF=∠BDA=90°(定角),所以点F在过G点且与BG垂直的射线上运动.如上图示,根据“垂线段最短”得:AH的长即为所求的最小值的线段长.在Rt△AGH中,AG=DG-DA=2-√3,cos∠GAH=cos∠BGD=DG/BG=2/√5.所以AH=AG×cos∠GAH=(2-√3)×2/√5=(4√5-2√15)/5.
第3题(圆与相似、三角函数)


【试题3有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.

(1)如图1,在半对角四边形ABCD中,∠B=0.5∠D,∠C=0.5∠A,求∠B与∠C的度数之和;
(2)如图2,锐角△ABC内接于⊙O,若边AB上存在一点D,使得BD=BO,∠OBA的平分线交OA于点E,连结DE并延长交AC于点F,∠AFE=2∠EAF.求证:四边形DBCF是半对角四边形;(3)如图3,在(2)的条件下,过点D作DG⊥OB于点H,交BC于点G,当DH=BG时,求△BGH与△ABC的面积之比.
【图文解析】(1)如下图示:

由四边形的内角和为360°得:3x+3y=360°,化简得x+y=120°,即∠B+∠C=120°.
(2)如下图示,

如上图示,不难证得:△BOE≌△BDE,得∠1=∠2,又在⊙O中,∠C=0.5∠2,所以∠C=0.5∠1.
下证∠DBC=0.5∠DFC.如下图示,

有∠3=1800-2m,∠DFC=1800-2m,从而∠DFC=∠3.又在⊙O中,根据圆周角定理,得∠DBC=0.5∠3,所以∠DBC=0.5∠DFC.
综上,∠C=0.5∠1和∠DBC=0.5∠DFC,得到四边形DBCF是半对角四边形.(3)如下图示,由半对角四边形DBCF的定义知:∠ABC+∠ACB=1200

所以∠A=60°,根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°……,如下图示.

如下图示,进一步得△BDG∽△BCA.所以S△BDG:S△ABC=BD2:BC2.

又(如下图示)

得BD:BC=1:根号3.所以S△BDG:S△ABC=1:3.即S△ABC=3S△BDG.
下面求△BGH与△BDG的面积比:如下图示,可得GH:DG=1:3.

进一步地,得S△BGH:S△BDG=1:3,即S△BDG=3S△BGH.
综上,S△ABC=3S△BDG=9S△BGH.所以S△BGH:S△ABC=1:9.
第4题(纯二次函数与最值)【试题4已知抛物线y1=x2+(m+2)x+m+1,直线y2=mx+m(m<0).(1)当m=2时,求抛物线与x轴交点的坐标;(2)直线是否可能经过抛物线的顶点,如果可能,请求出m的值,如果不可能,请说明理由;(3)记S=|y2|-|y1|,当-1≤x≤m+3时,求S的最大值.



【图文解析】(1)基础题,不解析.答案为(-1,0)和(-3,0).(2)法一:通过配方,求得抛物线的顶点坐标为(-(m+2)/2,-m2/4).代入直线解析式y2=mx+m(m<0),得-m(m+2)/2+m=-m2/4.解得m=0.因m<0,所以直线不可能经过抛物线的顶点.法二:联立直线与抛物线解析式,得x2+(m+2)x+m+1=mx+m.整理,得x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1.得抛物线与直线只有一个交点是(-1,0).又m<0,直线y=mx+m不可能平行于y轴,所以交点为(-1,0)不可能是顶点,所以……(3)当y1=0,因式分解,得(x+1)(x+m+1)=0.解得x1=1,x2=-m-1.根据(2)的法二,知:抛物线与直线只有一个交点,综上,可画出符合题意的草图,如下图示:

所以当x≥-1时,|y2=-mx-m.
下面分两种情况说明:情况一:当-1≤m+3<-(m+1),即-4≤m<-2时,如下图示:

S=|y2|-|y1|=…
=x2+2x+1=(x+1)2.S随x的增大而增大(x≥-1).当x=m+3时,S最大=(m+4)2.而-4≤m<-2,所以0≤S<4.情况二:当-1<m+1<m+3,即-2≤m<0时,如下图示:

S=…=-[x+m+1]2+m2.
当x=-m-1时,S最大=m2.而-2≤m<0,所以0<S≤4.综上所述,S的最大值为4.觉得作者辛苦,右下角点个在看吧  


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