【中考冲刺】(2020版)中难强化提升组合训练(7)——(含填选共4道压轴)

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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中难强化提升组合训练（7）

第1题（一次函数与角）

【试题1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）. 设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________

法一：

作CT⊥OA交PA于T，得△PTC∽△BPA，由P是BO中点，得tan∠APO=1/2,CA=m-2,TC=1/2(m-2).PT=√5,BP=m/2，AP=√5m/2.由PT/BP＝CT/PA,得

解得m=12.

法三：作(-0.5m，0).则△APQ∽△ACP,OP²+OC²=AP²=AC·AQ.得 (5/4)m²=(m-2)(m+0.5m).解得m=12.

得m的两解，又m为BO中点，
舍去一解，得m=12.

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第2题（菱形与对称）

【图文解析】

法一：如图

由E为菱形一边CD中点，得EB⊥AB，得BE=√3，由折叠，AF=EF，设AF=x，则EF=x，BF=2-x，
在Rt△FBE中，BE²+BF²=EF²，即3+（2-x）²=x²，解得x=7/4，在Rt△ABE中，勾股可得AE=√7，AM=0.5AE=√7/2 ,在Rt△AMF中，勾股得MF=√21/4，∴cos∠EFG=cos∠AFM=√21/7.法二：

在法一中，若能观察到∠AFM=∠AEB，则问题简单很多：cos∠EFG=cos∠AFM=BE/AE=√21/7.法三：由折叠得特殊性，还可以如下图添加辅助线，使问题简化，……

第3题（等腰直角三角形与动点最值）

【试题3】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．

（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．

【图文解析】（1）简析：由已知条件（O为EF的中点，GO=OD ）可得：四边形EDFG是平行四边形。如下图示：

下面进一步证明四边形EDFG中有一邻边相等和一个内角为直角。
由于D是等腰直角△ABC斜边上的中点，因此通常连接CD，即可得到相关重要结论，如下图示：

易证△ADE≌△CDF（SAS）.
所以DE=DF，∠ADE=∠CDF．因∠ADE+∠EDC=90°，进一步，得∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.综上，四边形EDFG是正方形．（2）由（1）证明知：四边形EDFG是正方形，所以S_{四边形EDFG}＝DE²，因此当DE最短时，四边形EDFG的面积最小.如下图示：

因E是边AC上的动点，根据“垂线段最短”可知，当DE⊥AC于E时，DE最小，如下图示：

此时，四边形的顶点G与C点重合，不难证得E是AC的中点，同时DE＝1/2AC＝2.如下图示：

所以正方形的面积为2²＝4.
综上，当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【拓展】将本题的条件“E，F分别是AC，BC上的点”改为“E，F分别是直线AC，直线BC上的点”，相关结论仍然成立，如下图示：

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第4题（纯二次函数与最值）

【试题4】如图，一次函数y=k₁x+5（k₁＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=k₂/x（k₂＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．（1）求k₂﹣k₁的值；（2）若AM/AN=1/4,求反比例函数解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

【图文解析】（1）简析：如下图示：

由于M是直线与双曲线线的交点，根据直线上时的M点纵坐标和双曲线上时的M点的纵坐标相等。x_M分别代入直线和双曲线的解析式中，可得：
当x=1时，k₁+5＝k₂/1，所以k₂﹣k₁=5.（2）利用平面直角坐标系的特点，经常将“已知条件AM/AN=1/4”中的比例关系（斜比）转化为“竖直比”或“水平比”，因此，可以过N作ND⊥y轴于D，如下图示，则CM∥DN，得到△ACM∽△ADN.

所以CM：DN＝AM：AN＝1：4.
得DN＝4，即x_N=4.类似第（1）小题得：当x=4时，y=4k₁+5= k₂/4，所以k₂﹣16k₁=20.联立两关于k₁ 、k₂的等式，得：

所以反比例函数的解析式为y=4/x.（3）由（2）知：M（1，4），画出符合条件的大致图形（暂时无法精确），要注意要考虑到多种情况，以防漏解。如下图：

此类试题常见解法思路：“设、求、代”，即先设设P（m，0），再想方设法求出Q点坐标（用含m的式子表示），然后代入符合条件的函数（反比例函数）图象上. 本题因（顺或逆）旋转90⁰（直角），容易想到：应构造以“90⁰（直角）”为“核心”的两直角三角形相似——最常见的基本图形（一线“三等（直）角”），为此：

得Q（m+4，m）.

得Q（m+4，m）
前面两种情况其实是一致的，将Q点坐标代入反比函数y=4/x（即xy=4）可得：

类似地，

得Q（m－4，－m）.

将Q点坐标代入反比函数y=4/x，得m（m－4）＝4，解得m₁=m₂=2，所以Q（－2，－2）.综上所述，所求的点Q的坐标为：

【反思】“画图”是解压轴题的关键；对常见常用的基本图形的深刻理解（常规思路、方法、技巧和相关结论）显然对解题大有帮助，熟练掌握、深层理解（内涵）才能做到熟能生巧、触类旁通。

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