【中考冲刺】(2020版)中难强化提升组合训练(8)——(含填选共4道压轴)

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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中难强化提升组合训练（8）

第1题（正方形与中点相关）

【试题1】如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )

A.3 B.2√3 C.√13 D.4

【图文解析】

法一：

作NJ⊥CD于J，MH⊥NJ于H，
则HN=NJ－HJ=0.5EF－HJ=3－1=2MH=IH+MI=3.在Rt△NMH中，由勾股定理，得：MN=√13.法二：

如图，以BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立直角坐标系，不难得：N（3，2），M(5，5)，则MN=√13.
【反思】法一和法二本质是同一种方法。由于正方形和中点的特性，还可以如下求解：法三

连接MA和EM，显然M在AE中垂线上，得出MA=ME=MC,∠MEA=∠MAE=MCB，则得出四边形MEBC对角互补，MN=1/2EC，在Rt△EBC中勾股得EC=2√13，MN=√13.

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第2题（菱形与对称）

【试题2】如图，曲线l是由函数y=6/x在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（-4√2，4√2），B（2√2，2√2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　　．

【图文解析】

【基本思路】正常情况下，在坐标系内求△OMN的面积我们是需要求出相应的点M，N的坐标才能解决问题，但是在本题图中AB的解析式尚能求出：应为

但旋转之后的反比例函数的解析式我们却极难处理，所以直接求点M，N的坐标很不现实但旋转变换的合同性给了我们逆向思考的方向，即将图形“转回去”，当然这里的旋转是“牵一发而动全身”，即图形中的所有元素都应绕点O顺时针旋转45°：

“转回去”之后，利用合同性，我们可以发现A₁和B₁恰好出现在了y轴和x轴上，这正是由于A，B本身点坐标的等腰直角三角形特性所决定的，∴A₁（0,8），B₁（4,0），∴A₁B₁:y=-2x+8，则这条直线与双曲线y=6/x的交点M₁（1,6），N₁（3,2），法1：利用面积割补法即可求出S_△OM1N1=8，法2：直接利用相似与勾股：S_△OM1N1=8

【反思】初中阶段函数的旋转往往会导致变换之后的解析式更加复杂，但合同性却依然存在，所以在处理函数的旋转问题时，如何找回原来的函数就是解决问题的关键.

第3题（圆与三角函数、相似，定值）

【试题3】如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．

【图文解析】（1）方法一：如下图示，

在Rt△COH中，由勾股定理，得：
r²=4²+（r﹣2）²，解得：r=5．方法二：如下图示，

不难得∠A＝∠1.分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，由tan∠A＝CH/AH＝CH/BH＝tan∠1得：4：2＝（2r－2）：4，解得r=5.
方法三：如下图示，

易证△ACH∽DBH，得
AH：DH＝CH：BH.即2/4＝4/（2r－2）…….（2）如下图示，点M在运动过程中，∠CMD的度数始终保持不变。

由于∠CMD无法确定具体的度数，因此要求sin∠CMD的值，必须建立一个含“与∠CMD相等”的角的直角三角形，然后通过三角函数的定义求解。
法一：根据圆周角定理和相关结论，可添加如下图所法的辅助线，得到直角.

易证sin∠CMD＝sin∠CPD.
在Rt△CPD中，sin∠CPD＝CD/PD，如下图示：

所以sin∠CMD=sin∠COA=4/5.
法二：根据圆周角定理，可以将∠CMD转化为圆心角，如下图示：

由CD⊥AB，AB为直径，根据垂径定理和等腰三角形的性质，得：∠CMD=0.5∠COD=∠AOC.所以sin∠CMD=sin∠COA=CH/OC=4/5.如下图示：

（3）如下图示，

本题图形繁杂，务必分清哪些是我们所需要的线，且“HE•HF的值”是一个乘积式，这种形式的值的求法往往通过“相似”或“面积”或“函数”等转化，因此通过“相似”转化为“比例式”，如下图示：

不难证明△MHE∽△FHN，得到HE/HN=HM/HF，根据比例性质，可得到HE•HF=HM•HN(这时已经转化到圆中的相关线段的乘积形式).类似地，继续将HM•HN转化其他乘积式(往已知方向转化)，如下图示，

易证△AMH∽△NBH，得HE/HN=HM/HF，根据比例性质，得AH•BH=HM•HN.综上所述，可得：HE•HF=AH•BH=2×8=16.【反思】常用“相似”将“乘积式”转化为“比例式”的数学思想是解决相似相关问题的重要方法，解题时，可尽量将未知量(或所求的量)往已知图形或已知量方向进行转化．

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第4题（二次函数与旋转、面积）

【试题4】如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S_△ABC=2/3S_△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

【图文解析】（1）简析：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+2，得到关于a、b的方程组，解之即可. 本小题答案为：y=﹣1/2x²+3/2x+2.（2）由S_△ABC=2/3S_△ABD，得S_△ABC：S_△ABD=OC：|y_D|=2：3，由C（0，2）得OC=2，所以|y_D|=3.当y_D =3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；当y_D =﹣3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；综上，存在满足条件的点D，分别为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；各种情形的图如下示：

（3）要求线段BE的长，必须先求出E点坐标，求出直线BE的解析式，然后联立直线与抛物线的解析式，即可得到E点的坐标.
首先，由A(－1，0)、B（4，0）、C（0，2），根据勾股定理的逆定理或相似，不难证得△ABC为直角三角形。如下图示：

法一　由∠ACB＝90⁰和题意中的“旋转45⁰”容易联想到“等腰直角三角形”，因此可构造如下图示的等腰Rt△.

此时△ABF可解，易求得F点坐标，如下图示：

分别在Rt△AOC和Rt△AFG中，
由cosA=AG/AF=OA/AC，得：

由B（4，0）和 F（2，6），得直线BE为y=﹣3x+12.联立直线BE和抛物线解析式可得：

所以E（5，－3）.再由勾股定理，得BE＝√10.

法二，利用对称，可得等腰直角三角形，如下图示：

法三，如下图示，转化为“一线三等角”就有更多种的解法了。

有关“45°”相关的试题更多解法这里略去.可参考本公众号的“与45°相关的两道姐妹题欣赏”（已有十几种解法）的文章（点击标题直接打开）.【反思】有关45°的角的相关试题均可以通过构造“一线三等角”、构造直角、构造矩形、构造辅助圆，可通过平移、对称、旋转、相似、建系等方法转化为“解三角形”来解决，均有很多种解法。

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