殷玉波：基于数学文化培育数学核心素养的课堂教学

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       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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殷玉波，河北省保定市第三中学数学高级教师，《中学数学教学参考》杂志编委。主要研究方向有高考备考和数学文化与数学美。2009年至今，在《中学数学教学参考》、《数学通讯》等国家级学术期刊发表文章70多篇，其中5篇被中国人民大学资料复印中心《高中数学教与学》全文转载。

摘要：课堂教学渗透数学文化需要教师掌握丰富的数学文化知识。落实核心素养的基本途径是：首先确定素养目标，划分单元内容，找到合适的培养策略。以函数的奇偶性为例，说明高中课堂渗透数学文化，落实数学核心素养的基本方法。

关键词：数学文化  核心素养 课堂教学

1前言 

《普通高中课程标准（2017年版）》指出，数学文化应融入数学教学活动。在教学中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于学生开拓视野、提升数学学科核心素养【文献1】。这不仅是对当前和今后高中数学教学提出的要求，也是我们努力地方向。这意味着传统数学课程的内容和形式要发生改变，也意味着数学教育由数学知识和技能的教学，转变为数学文化教育。

数学文化教育是“将外在的数学知识同内在的人性生命教育有机地结合起来，使人们在发现外在的客观世界的同时，也发现内在的精神世界，既体现数学精神又体现人文精神，从而真正将数学教育的过程变成培养人的过程”。

“数学文化教育”要求教师在教学过程中，传承、渗透数学文化，培育学生学科素养，通过实实在在的教学活动实现数学育人功能。

学科素养是育人价值的集中体现。数学核心素养是通过学科学习后天逐步形成的，培育发展学生的数学核心素养应该建立在数学文化的基础之上。

下面结合“函数奇偶性”，说明高中数学课堂教学渗透数学文化、培育数学核心素养，实现数学文化教育的几个问题，欢迎批评指正。

2基于数学文化的课堂教学需要教师增加数学文化知识储备 

课堂教学是教学活动的中心。基于数学文化的数学课堂需要教师有以下5个方面知识储备：

（1）数学知识。教师首先掌握函数的奇偶性的定义、判断方法，图像特征及应用等，掌握奇偶性定义的抽象过程和形式化表达。

（2）数学思想方法和数学精神。本节内容主要蕴含着函数思想、数形结合思想，和数学的理性精神。教学过程中，以数学思想为指导，通过数学形式化过程，使得追求事物本质的精神得到焕发。

（3）数学史。数学史进入课堂有很多种方式。但老师们掌握的数学史内容有限，而且大都是由教材编写者随意叙述的，还有许多不妥之处。

数学是受文化制约的，名词也是如此。从数学名词的文化背景入手思考和查阅比较容易一些，课堂教学也比较实用。如：何为奇偶？它与整数的奇偶性有无关联？经查阅，历史上欧拉研究幂函数，发现指数是奇数的函数关于坐标原点对称，指数是偶数的关于y轴对称，于是最早命名了“奇函数”和“偶函数”。函数的奇偶性与其图象的关系，揭示了这类函数的特征。

（4）数学故事。数学故事、趣闻比较多，学生对这些非常感兴趣。可以从一个著名问题的观察猜想、直觉描述、思辨论证到完美证明，在课堂上展现。

对高一学生可以给学生适当介绍欧拉的传奇一生。比如，欧拉在双目失明的情况下进行数学研究，其坚持不懈，勇于探索，献身科学的大无畏精神，对待困难执着坚定的高贵品质等，对学生具有非常大的震撼力。

随着数学知识的增加，可以结合教学内容具体讲述欧拉的成果或故事。

（5）数学应用与数学美。

“美”和“妙”不是数学概念，而是属于文化艺术范畴的审美观念，它取决于一个人的文化品格和修养。求真求善求美是数学文化自身的价值追求。

很多老师在讲授本节内容的时候，一般先欣赏一些漂亮的图片，发现对称之美，然后进入主题。

在数学家眼中，对称是某种运动下的不变性质。如轴对称就是沿对称轴翻折后图形的形状不变。这种“变化”之下的不变性质，可以更深刻显示对称的本质。很多人会填词、对对联，就是利用了这种不变性质。

数学美是隐性的，隐藏在数学知识、数学方法、数学语言之中。学生发现、认识数学美的自觉性比较差，对教师要求很高，教学不能一蹴而就。数学美教学大致要经过三个阶段：数学是美的，数学是追求美的，美在数学中。

关于数学美后面将进一步探讨。

以上5点内容是结合课堂教学，将数学文化的内涵进行了分解和细化。

3基于数学文化的课堂培育数学核心素养的基本途径

数学文化教育通过课堂教学传承数学文化，提升学生数学核心素养。其基本途径是：搞好单元设计，掌握核心素养培养策略。

3.1单元设计

（1）划分单元（或主题）。研究学习内容，明确需要培育或提升哪些数学核心素养。在充分研究学情的基础上，从育人的高度，进行单元划分并确定单元学习目标。
   a.学情分析：从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且储备了一定数量的简单函数和基本知识。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，在老师启发引导下能够用假设、推理来思考和解决问题．

b.本节内容蕴含的核心素养：本节内容主要蕴含四种数学核心素养，即数学抽象，逻辑推理，数学计算，直观想象。

经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养；在把握函数奇偶性定义时，体会全称量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养；在函数奇偶性的证明过程中，发展学生的数学运算素养和数学推理；在应用函数图象观察分析，及奇偶函数的图象特征作图时培养学生的直观想象素养。

将函数的对称性作为一个主题，以函数的奇偶性为单元进行教学设计，计划分两个课时进行。第一课时重点发展数学抽象的核心素养。

（2）设置情景。设计一个真实的、学生熟悉的单元“情境”：可以是一个故事，也可以一个场景，将数学隐在故事和场景中，帮助学生进入情境；引领学生用数学的眼光观察思考情境，发现问题，并逐步提出问题。通过对问题的不断探究，自觉形成一个个贯穿整个单元的学习任务。
  本节课围绕欧拉给函数奇偶性命名这一史实设计问题情境，有如下两个思路：

这个过程是由“数”到“形”。

思路二：也可以由“形”到“数”。先画出上述（1）（2）函数的图象，观察函数图象，发现函数图象关于y对称，启发引导学生将函数的这种对称用解析式表示出来。

这个过程是由“形”到“数”。

建议采用思路二（为什么？）。

（3）任务分解。根据本节课提出的学习任务，将每个任务分解成一些具体的教学活动。

本节课的教学任务有两个：经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养；通过学科学习和数学与其他学科的广泛联系，体会数学理性精神，欣赏数学中的不变之美。

这两个学习任务分解到教学中，大致分成以下五个阶段：通过偶函数的学习，理解对称的本质，学会用数学符号表示；模仿偶函数的学习过程，学习奇函数概念，加强对函数对称的理解和应用；借助一般函数对称性的符号表示，进一步培养数学抽象的素养；最后通过与其他学科的联系，欣赏数学中的不变之美，激发数学学习兴趣；最后通过作业巩固并发展本节课的教学目标。

史宁中教授说：无论数学概念的述说，还是计算方法的使用，高中数学与初中数学都有一个显著的变化，就是更加抽象。正是因为有了这样的抽象，才使得数学的表达具有了一般性。因此，在函数概念教学中，应该让学生感知这样的变化、启发学生思考，进而引导学生理解数学的本质、感悟数学的思想、形成和发展数学核心素养【文献3】。

（4）课堂教学。在情境的引领下，在任务驱使下，组织具体的教学活动。教师目标任务清晰，问题设置合理，产生冲突和共鸣，学生学习就会主动。如：

函数奇偶性的本质是对称，对称的本质是变化过程中保持不变的特性。根据这一特性，可以进行如下设问：什么叫对称？变化过程中哪些变了，哪些没有变？怎么用数学符号表示？以前学过的函数中哪些函数具有这样的性质？具有这样性质的函数如何表示？

  关于数学美的教学，围绕发现、认识和领悟三个阶段进行。

首先对称是一种美，这种美在数学上是 “变化过程中保持不变性质”，用符号语言表示这种对称，认识数学语言是人的思考的精美表示。

通过启发联想 “变化过程中保持不变性”在物理、化学中、社会生活中、中华传统文化中有没有？使学生切身体会、欣赏数学的价值。

最后用刘禹锡的《乌衣巷》的文学意境来描述数学中的“变与不变”，数学的美感会油然而生。

（5）练习巩固。课堂练习，课后习题都要围绕本节课的学习目标，特别是素养目标进行，提升学生的数学核心素养。

一般情况下课堂上讲完概念后，教师会安排解题训练。如，判断下列函数的奇偶性：

这些题目可以培养数学运算和逻辑推理的核心素养。这样的做法，学生的思维就发生了转移，转而关注各种类型习题的计算上面。

转向各种计算和一些特殊的函数认识，学生的抽象思维嘎然而止。抽象思维陷入停顿，不仅脱离了本节课主题，对数学抽象核心素养的培养也是巨大损失。

数学抽象素养是所有核心素养的核心。从抽象思维水平的培养来看，函数性质的学习无疑是最好的素材，因此，安排第二节课培养学生的数学计算等其他素养。

从知识的角度来说，教材几乎没有提及函数的对称性。按照整体设计，借助函数奇偶性将函数的对称性进行全面理解和说明，进一步发展学生数学抽象的素养。

作业留了两个：作业1完成课后36页练习1，2；

作业2完成下列思考题1，2 ，有余力的可以考虑下面思考题3.

本节课作业1巩固基本知识，作业2的思考题将函数的奇偶性推广到一般。以抽象函数和复杂具体函数为载体，进一步发展学生数学抽象的素养。

（6）单元检测。本节课从略。

3.2数学抽象素养的培养策略

培养数学抽象有两个基本途径：其一是从现实具体存在中抽象获得；其二是借助相关数学符号或类比获得。无论哪种途径，都使数与形脱离直观意义和经验意义上的存在，形成一般概念、结构和规律，并用数学符号予以表征【文献4】。

教学中培养学生抽象的素养归纳起来大致三个方面：经历数学概念的抽象；培养数学抽象的方法；认识数学结构与体系【文献5】。

3.2.1经历数学概念的抽象

章建跃老师给出数学概念教学的基本环节，包含创设问题情境、共性分析与概括本质属性、下定义、概念辨析、概念初步应用，概念“精致”六个基本环节。【文献6】

本节课的偶函数概念教学就是一个典型的数学概念抽象过程。首先观察所熟悉的几个函数图象的特征，然后由特殊到一般分析对轴对称图形的本质属性，脱离函数图像，把这一特征用数学符号表示，并给偶函数下定义。对概念进行辨析和简单应用。

3.2.2培养数学抽象的方法

数学抽象是数学素养的核心，其培养策略应引起足够重视，下面归纳三条，欢迎补充修正。

（1）概念形成是一种教师指导下的基本数学抽象方法。如：函数的单调性和奇偶性的概念都是采用这种概念形成的方式抽象得到的。学生经历多次的概念形成学习活动，教师有意指导学生比较、反思这些学习知识的学习过程，能够逐渐内化这种学习方法。

（2）用简单的符号代替复杂的表达形式，得到一些数学的命题，也是一种常用的数学抽象方法。

（3）在原有思路上不断延伸也是重要的抽象的方法。比如函数的三个概念。

3.2.3认识数学结构与体系

数学结构表达了某类数学知识的共同规律，蕴含了逻辑上的知识发展的来龙去脉。认识数学结构与体系，有利于整体把握数学，帮助学生以大观念为核心重构知识结构，预见知识的发展【文献5】。这是最高级别的数学抽象。

帮助学生认识数学结构，关键是建立知识间的本质联系。

认识数学结构遵循循序渐进原则。一般经历由具体到抽象，由特殊到一般，由感性认识到理性表达的过程，通过知识之间的本质联系，将数学的结构特征认识清楚。

4数学文化教育对教师的知识结构和教育理念都提出了更高要求

基于数学文化，培育数学核心素养的就是进行数学文化教育。在这个过程中,有很多困难和阻力。从教师自身来看，当前主要遇到的问题有以下几点：

（1）数学本质的认识。目前绝大多数老师的教学主要是照本宣科阶段，缺乏深入思考。

（2）数学思想方法和数学精神。对于一些数学内容蕴含的重要数学思想把握不准。很多思想停留在方法层面，需要上升到思想层面。如何培养这些数学思想，也需要不断探索。

（3）数学史或数学故事。手上资料有限，对于一些数学故事、数学典故的由来知之甚少。资料的获得、资料的使用等问题都是需要交流和探讨。目前只能通过自己不断学习进行积累，很难形成体系。

（4）数学应用与数学美。现代科技越来越离不开数学，特别是高科技领域。但是高科技领域的数学本质对于中学老师来说很难理解或正确理解。

数学上求真和求美是常常统一的。对数学美的理解伴随着问题的解决，以及在问题解决过程中获得简洁、统一、对称、和谐等。这个过程学生不能轻易获得，显得很“高、冷”。

5几点建议

基于数学文化培育数学核心素养的课堂，不是数学知识、技能和数学文化情感的简单相加，是适时、自然地引导学生对数学知识进行情感体验和深刻理解的过程。需要从以下几方面不懈努力：

首先要不断学习。历史上许多重要事件成为数学发展的历史转折点，由于教材容量和编写的原因，这些真实而重要的资料散落在各处，很难发现其中的历史背景和教育价值，甚至被忽略被遗忘。只有不断学习，才能将这些知识挖掘出来，集中起来，经过巧妙的教学设计，让它们散发出夺目的光彩。

其次是思考与感悟。教师平时忙于做题，应付各种考试，缺乏思考数学知识点所蕴含的数学文化。需要教师通过不断学习，努力学会从各个视角挖掘数学素材中所蕴含的数学文化信息，深入理解数学文化的教育价值所在，审视数学科学性与人文性的双重属性，体悟数学超越科学主义的文化意义【文献7】。

第三是实践。数学文化浩如烟海，基于数学文化的教学如同航行在茫茫大海上，很容易迷失方向。张奠宙先生数学欣赏的四个途径是教师挖掘数学文化素材，形成适宜学生的数学教学活动的基本途径，也是教师积淀丰富数学文化知识，认识数学文化，从数学教学实现数学教育的途径，可以一试。即：

 * 对比分析， 体察古今中外的数学理性精神；

  * 提出问题， 揭示冰冷形式后面的数学本质；

  * 梳理思想， 领略抽象数学模型的智慧结晶；

  * 构作意境， 沟通数学思考背后的人文情景。【文献8】

这个途径是一个框架，可以将散落的数学文化知识有序串联起来。在这个过程中，帮助学生认识数学的本质，体会数学在科技与生活中的价值，提升科学精神和人文素养，有利于学生开拓视野，提升学科素养。尤其有利于教师的专业素养的提高。

以上四点内容非常广泛，根据教学实际需要，不要求在一节课中都要具备以上四点内容。

教师完善自己的知识结构，更新教育理念，真心对待数学和数学教育，基于数学文化的数学课堂一定是生命绽放的课堂！

✎ 参考文献  [1] 中华人民共和国教育部 普通高中课程标准（2017年版）[M]北京 人民教育出版社2018.1 10）82-83[2]徐乃楠 孟建伟.论科学教育的人文化[J]新视野 2012（3）：11-15[3]史宁中 高中数学课程标准修订中的关键问题[J]数学教育学报哦 2018年2月 第27卷第1期8-10[4]朱立明 胡洪强马云鹏 数学核心素养的理解与生成路径——以高中数学课程为例[J]数学教育学报2018年2月 第27卷第1期42-46[5]林京榕等 数学抽象素养培养策略[J]数学通报2020第2期19-22[6]章建跃 数学教育随想录[M]杭州；浙江教育出版社，2017；519-520[7]张辉蓉等 教师数学文化素养的内涵与特征分析——基于数学文化课例的解读（J）数学教育学报 2019年10月第28卷第5期 65-69。[8]张奠宙等 情真意切话数学[M]北京 科学出版社 2011年1月前言

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