2020年福建宁德九下质检第24题（倒二压轴—圆、特殊三角形与相似、三角函数）试题解析

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第24题（圆、特殊三角形与相似、三角函数）

【宁德二检】如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AD∥FC；（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．

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【图文解析】

(1)如下图示：通过全等，证得∠1＝∠2，进一步，得∠BPD＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAC＝60°，又∠F＝∠BAC＝60°，得∠BPD＝∠F，所以AD∥FC.
(2)因∠PCE＜∠DCA＝60°，所以∠PCE＝90°不存在，因此当△PEC为直角三角形时，只有可能∠PEC＝90°或∠EPC＝90°.当∠PEC＝90°时，如下图示：此时点D、E分别是BC和AC的中点，根据“三线合一”，可证得∠ACF＝30°，所以tan∠ACF＝√3/3.
当∠EPC＝90°时，连接AF，可得如下图结论：得到△APF为等边三角形，且△PCF为含60°的特殊直角三角形.
法一：图中的△ACF已经具备AF/CF＝PF/CF＝cos∠PFC＝cos60°＝1/2，AC＝6，∠AFC＝60°，△AFC可解，如下图示：可求得tan∠ACF＝AH/CH＝√3/5.法二：如下图示（本质与法一同，但较繁）由勾股定理，求得AC＝2√7a，再利用sin∠AFC＝FH/AF＝CG/AC求得FH，…….

强调：如下图示，图中可找到等边三角形，可通过“旋转及旋转全等”得到多种解法，本质均类似.

下面例举几个思路，不全部列出（繁琐不一）：
法三：如下图示法四：如下图示
法五：如下图示

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法八：如下图示
……，说明：利用图中的等边三角形（包括构造等边三角形）进行旋转均可求解，有的会重复，至少还有4种，但较繁，这里略去，有兴趣的朋友可以去尝试。例如：当然也可直接构造直角三角形，如下图示，但对本题来说较繁！
法十：如果单纯通过“相似”转化，也繁琐，下面的解法，是试卷中给出的标准答案。应较多家长要求，也做详细分析，但其中的解题过程所用到的知识较多，也是很好的复习资源。如下图示：易证△APE∽△ACD，
得AE：AD＝PE:CD，得PE×AD＝AE×CD＝x……①.如下图示：可证得△PCE∽△HAD，得DH：PE＝AD：CE，得PE×AD＝DH×CE=(3-x)(6-x)……②.
由①②，得(3-x)(6-x)=x².解得x=2.在△ABE中，已具备AB＝6，AE＝2，∠BAC＝60°，根据∠ACF＝∠ABF，求解tan∠ACF.如下图示：可求得tan∠ACF=tan∠ABF=√3/5.
综上所述，tan∠ACF＝√3/3或√3/5.
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