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2020年福建宁德九下质检第24题(倒二压轴—圆、特殊三角形与相似、三角函数)试题解析

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第24题(圆、特殊三角形与相似、三角函数)

【宁德二检】如图,已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆,点DE分别是BCAC上两点,且BDCE,连接ADBE相交于点P,延长线段BE交⊙O于点F,连接CF(1)求证:ADFC(2)连接PC,当△PEC为直角三角形时,求tan∠ACF的值.


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【图文解析】

(1)如下图示:

通过全等,证得∠1=∠2,进一步,得∠BPD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAC=60°,又∠F=∠BAC=60°,得∠BPD=∠F,所以AD∥FC.
(2)因∠PCE<∠DCA=60°,所以∠PCE=90°不存在,因此当△PEC为直角三角形时,只有可能∠PEC=90°或∠EPC=90°.当∠PEC=90°时,如下图示:

此时点D、E分别是BC和AC的中点,根据“三线合一”,可证得∠ACF=30°,所以tan∠ACF=√3/3.
当∠EPC=90°时,连接AF,可得如下图结论:

得到△APF为等边三角形,且△PCF为含60°的特殊直角三角形.
法一:图中的△ACF已经具备AF/CF=PF/CF=cos∠PFC=cos60°=1/2,AC=6,∠AFC=60°,△AFC可解,如下图示:

可求得tan∠ACF=AH/CH=√3/5.法二:如下图示(本质与法一同,但较繁)

由勾股定理,求得AC=2√7a,再利用sin∠AFC=FH/AF=CG/AC求得FH,…….

强调:如下图示,图中可找到等边三角形,可通过“旋转及旋转全等”得到多种解法,本质均类似.


下面例举几个思路,不全部列出(繁琐不一):
法三:如下图示

法四:如下图示

法五:如下图示


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法七:如下图示

法八:如下图示

……,说明:利用图中的等边三角形(包括构造等边三角形)进行旋转均可求解,有的会重复,至少还有4种,但较繁,这里略去,有兴趣的朋友可以去尝试。例如:

当然也可直接构造直角三角形,如下图示,但对本题来说较繁!
法十:如果单纯通过“相似”转化,也繁琐,下面的解法,是试卷中给出的标准答案。应较多家长要求,也做详细分析,但其中的解题过程所用到的知识较多,也是很好的复习资源。如下图示:

易证△APE∽△ACD,
得AE:AD=PE:CD,得PE×AD=AE×CD=x……①.如下图示:

可证得△PCE∽△HAD,得DH:PE=AD:CE,得PE×AD=DH×CE=(3-x)(6-x)……②.
由①②,得(3-x)(6-x)=x2.解得x=2.在△ABE中,已具备AB=6,AE=2,∠BAC=60°,根据∠ACF=∠ABF,求解tan∠ACF.如下图示:

可求得tan∠ACF=tan∠ABF=√3/5.
综上所述,tan∠ACF=√3/3或√3/5.
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