2020年福建福州九下质检第25题（倒一压轴—纯二次函数，新定义，几何说理）试题解析

【福州二检】抛在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=kx²+(4k²-k)x的对称轴是y轴，过点F(0，2)作一直线与抛物线C相交于P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线OP相交于点A.(1)求抛物线C的解析式；(2)判断点A是否在直线y=-2上，并说明理由；(3)若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，过抛物线C上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l，分别交直线y=2和直线y=-2于点M，N，求MF²-NF²的值.

如果你在阅读本文，烦请在文章右下角点亮“在看”！对你来说，花不了多少时间，却能给作者带去信心和鼓励.你的一个“在看”就会让你的朋友知道你在阅读这篇文章，也许他（她）们也因你的“在看”而阅读本文，给本文带来人气，给作者持续向前的动力！【图文解析】（1）简析：依题意，得4k²-k=0且k≠0.解得k=1/4，所以抛物线C为y=x²/4.（2）法一：如下图示：

设点P（m，m²/4）,经过点C的直线PQ为y=kx+2，将点P的坐标，代入，得km+2=m²/4,得m²/4-km＝2.所以直线PQ为y = kx+m²/4-km.即y=k(x-m)+m²/4.联立直线PQ与抛物线C的解析式，得x²/4= k(x-m)+m²/4.整理，得（x-m）(x+m)-4k(x-m)=0.因式分解，得(x-m)(x+m-4k)=0.解得x₁=m，x₂=-m+4k.得x_Q=-m+4k.由P（m，m²/4），得直线OP为y=mx/4.当x= x_Q=-m+4k时，(代入直线OP的解析式)y_A=m(-m+4k)/4=(4km-m²)/4.又m²/4-km＝2（前已证）得4km-m²=-8.得y_A=-2.所以点A在直线y＝-2上.法二：（试卷标答）

（3）试题再现：

【福州二检】抛在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=kx²+(4k²-k)x的对称轴是y轴，过点F(0，2)作一直线与抛物线C相交于P，Q两点，过点Q作x轴的垂线与直线OP相交于点A. (3)若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，过抛物线C上的任意一点(除顶点外)作该抛物线的切线l，分别交直线y=2和直线y=-2于点M，N，求MF²-NF²的值.

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【图文解析】

法一：如下图示：

设点C（2t，t²）,经过点C的切线MN为y=kx+b，则t²=2kt+b，得b=t²-2kt.
所以直线MN为y=kx+(t²-2kt)=k(x-2t)+t².联立直线MN与抛物线C的解析，得x²/4=k(x-2t)+t².整理，得x²-4t²=4k(x-2t).因式分解，得(x-2t)(x+2t-4k)=0得x₁=2t，x₂=-2t+4k.依题意，得x₁=x₂.得2t=-2t+4k，得k=t.所以直线MN为y=t(x-2t)+t²=tx-t².当y=2时，得x_M=t+2/t.当y=-2时，得x_N= t-2/t.根据距离的定义和勾股定理，得MF²-NF²＝(t+2/t)²-[(t-2/t)²+4²]＝(t+2/t)²-(t-2/t)²-16＝8-16＝-8.法二：（试卷标答）