胡云端——模考中的阿基米德多面体问题解析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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模考中的阿基米德多面体问题解析

安陆市涢东学校      胡云端

“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi﹣regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．该图形常常用于几何问题的考察中，本文通过几道试题，分析了这类题目的解题方法。

例1（2021春•葫芦岛期末）阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”史料表明阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有 　　个面；若正方体的棱长为2，则该半正多面体的体积为 　　．

【分析】正方体原来有6个面，在每一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，多出8个截面，即得多面体的面数；

利用多面体的体积为正方体的体积减去8个小三棱锥的体积，即可求得该多面体的体积．

【解答】正方体原来有6个面，现在每一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，

共截去8个三棱锥，也多出8个截面，所得多面体的面是6+8＝14（个），

即该多面体有14个面；

若正方体的棱长为2，则该多面体的体积为正方体的体积减去8个小三棱锥的体积，

【点评】本题考查了正方体和多面体的体积计算问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．

例2（2021秋•奉贤区校级月考）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是 　　．

【分析】利用平移的思想方法，找出异面直线AB与CD所成角。

【解答】如图所示，由题可知，四边形ABEG和CDFE

例3（2021秋•南通月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi﹣regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB=√2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（　　）

A．该半正多面体的体积为20/3

B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为3√3/2

C．该半正多面体外接球的表面积为8π 

D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式V+F﹣E＝2

【分析】根据几何体的体积公式判断A，作出截面即可判断B，根据外接球为正四棱柱可以判断C，证明欧拉定理来说明D正确．

【解答】该半多面体，是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，

对于A：因为由正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥，所以该几何体的体积

【点评】本题主要考查多面体的性质，空间想象能力的培养，欧拉公式及其应用等知识，属于中等题．

例4（2021秋•深圳校级月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为3+√3，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（　　）

【分析】补全该半正多面体得到一个正方体，由正三角形可得60°角，再利用平行关系，即可判断选项A，利用正方体找出线面角为∠ABE＝45°，即可判断选项B，先找到二面角的补角∠AFE，在直角三角形AEF中，利用边角关系求解，即可判断选项C，利用半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心是同一点，即为正方体体对角线的中点，再构造△OO₁A，求出球的半径，再利用球的表面积公式求解即可．

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间几何的理解与应用，正多面体的几何性质的应用，线面角与二面角的求解，球的表面积公式的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于难题．

 【作者简介】胡云端，理学学士，全国高中数学联赛二级教练员，先后任教于湖北省某县一中，广东省重点高中，现任教市直学校，主要从事中学数学教学、教育信息化与课程融合的教学与研究工作。2017年完成中央电教馆一项青年课题研究(立项号123440854)，已结题；在各级刊物发表多篇论文，教学课件、论文、微课先后获得省级竞赛一二等奖。

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