2019年漳州九下质检倒二压轴（九种解法）（平行四边形与旋转最值）
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2019年漳州九下质检倒二压轴
【漳州二检】如图1，在平行四边形中，AB＝6，∠B＝α（60°＜α≤90°）．点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF上菱形；
（2）如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值（用含α的代数式表示）．
【图文解析】
（1）多种证法，均较易，仅提供一种，如下图示，
（2）【原题再现】如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值（用含α的代数式表示）．
【图文解析】典型的旋转相似，本公众号已有多篇文章（至少20篇）．解题思路：连接AN，则△AMN为等腰三角形，则可以选取在运动过程中的任意一特殊位置时的△AMN，将它与一般位置时的△AMN进行比较，利用对应线段构成的两三角形全等或相似（等腰时全等，本题为全等，若原三角形非等腰，则相似）．则可得到定角，进一步得到点N的运动路径在一定直线上。
另外图中有菱形，也可通过旋转、对称等多种思路进行联系，得到点N在定线上．
【法一】如下图示，显然△ABM∽△AMN．
进一步，得△ABM≌△AEN，如下图示：
可证得∠AEN＝∠B＝α（为定角）．
又由于点E为定点，AE为定线段，
因此点N在定直线（与AE构成α上方的线段上，即为EN）．
此时∠FEN＝α－∠AEF＝α－∠BAE＝α－（180°-α）/2＝3α/2-90°．
根据垂线段最短，得：当FN⊥EN时，FN最小，如下图示．
【法二】如下图示，易得△AEG∽△AMN（两角相等）．
进一步，可证：△AGN∽△AEM．
得∠AGE＝∠AEM＝90°-α/2（定角）．
即点N在定线段上．又可求得∠GEF＝3α/2-90°．下同法一：
【法三】
……
【法四】
下面给出的解法，仅考虑点M在线段BE上，点M在线段EC上思路类似．
【法五】
【法六】
【法七】
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【法八】
【法九】
【反思】本题中的几个解法均为常见思路，尤其是旋转相似在解题中应用．
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