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2019年漳州九下质检倒二压轴(九种解法)(平行四边形与旋转最值)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年漳州九下质检倒二压轴


【漳州二检】如图1,在平行四边形中,AB=6,∠B=α(60°<α≤90°).点E在BC上,连接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B与AD上的点F重合,连接EF.

(1)求证:四边形ABEF上菱形;

(2)如图2,点M是BC上的动点,连接AM,把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN,连接FN,求FN的最小值(用含α的代数式表示).

【图文解析】

(1)多种证法,均较易,仅提供一种,如下图示,

(2)【原题再现】如图2,点M是BC上的动点,连接AM,把线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN,连接FN,求FN的最小值(用含α的代数式表示).

【图文解析】典型的旋转相似,本公众号已有多篇文章(至少20篇).解题思路:连接AN,则△AMN为等腰三角形,则可以选取在运动过程中的任意一特殊位置时的△AMN,将它与一般位置时的△AMN进行比较,利用对应线段构成的两三角形全等或相似(等腰时全等,本题为全等,若原三角形非等腰,则相似).则可得到定角,进一步得到点N的运动路径在一定直线上。

另外图中有菱形,也可通过旋转、对称等多种思路进行联系,得到点N在定线上.

【法一】如下图示,显然△ABM∽△AMN.

进一步,得△ABM≌△AEN,如下图示:

可证得∠AEN=∠B=α(为定角).

又由于点E为定点,AE为定线段,

因此点N在定直线(与AE构成α上方的线段上,即为EN).

此时∠FEN=α-∠AEF=α-∠BAE=α-(180°-α)/2=3α/2-90°.

       根据垂线段最短,得:当FN⊥EN时,FN最小,如下图示.

【法二】如下图示,易得△AEG∽△AMN(两角相等).

进一步,可证:△AGN∽△AEM.

得∠AGE=∠AEM=90°-α/2(定角).

即点N在定线段上.又可求得∠GEF=3α/2-90°.下同法一:



【法三】

……

【法四】

下面给出的解法,仅考虑点M在线段BE上,点M在线段EC上思路类似.


【法五】

【法六】

【法七】

 


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【法八】

【法九】

【反思】本题中的几个解法均为常见思路,尤其是旋转相似在解题中应用.


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