杨 俊——加权将军饮马问题的终极答案
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加权将军饮马问题的终极答案
广东深圳 杨 俊
问题：已知A(0,1),B(3,2)点P为x轴上一个动点,求AP+2PB的最小值。
解析：这类AP+kPB结构的式子,就是所谓的加权的将军饮马问题,之前的解法普遍是以解方程为主流的解法,当其中一个点的坐标一换的时候,很容易对应的方程很难得到比较好的解,所以一般只给学生做情况比较简单的情况。
法一：直接转化求导
法二：光的折射定律
由于法一需要使用求导的知识,故一般的初中生不容易掌握,故初中生可以采用这个方法来求解此类问题。此题等价于一束光从点A(0,1)出发,经过x轴折射后经过点B’(3,-2) 且两种介质的折射率之比为1:2,由斯涅尔定律：
两种方法看似不同,但其本质是一致的,都是通过解方程来得到点P的坐标,但如果将点B的坐标换成(3,3),转化以后的方程就不是很好解了,经过不断的尝试,终于找到了这类题最简洁高效的解法。
法三：初等几何解法
过点B作BH⊥x轴,在点H右边取HD=2BH,在点H左边任取一点P做PC⊥BP且有PC=2BP,易得△BPC∽△BHD,故∠BCP=∠BDH,所以B,P,C,D,四点共圆，所以BD⊥DC,所以无论点P如何移动,点C都在直线DC上,故当A,P,C三点共线时，有AP+2PB的最小值。
至此,我们可以给这类问题一个统一的解法了,
以后再遇到这类问题，你可以口算了吗？
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