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2019年漳州九下质检试题倒一压轴(纯函数)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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2019年漳州九下质检试题倒一压轴


【漳州二检】已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(-1/2<m≤3/2),直线l的解析式 为y=(k-1)x+2mk+2.

(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为-3,试求抛物线的顶点坐标;

(2)试证明:抛物线与直线l必有两个交点;

(3)若抛物线经过点(x0,-4),且对于任意实数x,不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立;当k-2≤xk时,批物线的最小值为2k+1. 求直线l的解析式.

【图文解析】

(第(1)(2)两小题属于常规试题,只给 答案,不做详解)

(1)依题意,得

-2m=-3,得2m3.

所以y=x2+2x-3=( x +1)2-4.

顶点坐标为(-1,-4).

(2)说明:与交点相关,通常思路:两解析式联立,化为关于x的方程,再利用△的值的符号进行判断.联立抛物线(y=x2+(2m-1)x-2m )与直线(y=(k-1)x+2mk+2)的解析,得

x2+(2m-1)x-2m=(k-1)x+2m-k+2.

整理,得

x2+(2mk)x-4m+k-2=0.

△=(2mk)2-4(-4m+k-2)

= (2mk)2+16m-4k+8

(2m-k)2+4(2m-k)+4+(8m+4)

=(2mk+2)2+8m+4.

m>-1/2, ∴8m+4>0.

又(2mk+2)2≥0.

∴△>0.

∴抛物线与直线l必有两个交点.

(3)由“抛物线经过点(x0,-4),且对于任意实数x,不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立”可知:y最小值=-4

解得m=3/2或m=-5/2.

又∵-1/2<m≤3/2.∴m=3/2.

此时抛物线为y=x2+2x-3,

对称轴为直线x=-1.

根据k的取值,可分为以下三种情况:

①当k≤-1时,如下图示:

抛物线在k-2≤xk上,图象下降,y随x增大而减小.  此时当x=k时,y最小值= k2+2k-3.所以k2+2k-3=2k+1.解得k1=2>-1(舍去),k2=-2.

对应直线l的解析式为y =-3 x+7;

k-2<-1<k,如下图示:

即-1<k <1时,抛物线在k-2≤xk上.
y最小值=-4,即2k+1=-4.

解得k=-5/2<-1 (不合题意,舍去)·

k-2≥-1,即k≥1时,如下图示:

抛物线在k-2≤xk上,图象上升,随增大而增大,此时当x=k-2时,y最小值=(k-2)2+2(k-2)-3.所以(k-2)2+2(k-2)-3=2k+1.解得k1=2+2√2,k2=2-2√2<1 (舍去).

对应直线l:y =(1+2√2)x +3+2√2.

综上所述,直线:y =-3 x +7或y =(1+2√2)x +3+2√2.

【拓展思考】已知抛物线y=x2+(2m-1)x-2m(-1/2<m≤3/2),点P(m,k)在直线y=2x-3上,当k-2≤xk时,批物线的最小值为2k+1.求k取值范围.

(本思考只作为研讨材料使用,其中的数据尚未进行最终确定)

【反思】数形结合是解决此类问题的关键,注意第3小题的分类依据(以对称轴为“基准”).


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