2019年龙岩九下质检试题倒一压轴（直线、双曲线与抛物线－纯函数，多参数，计算说理与最值相关）

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2019年龙岩九下质检试题倒一压轴

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【龙岩二检】已知直线y=x+t与双曲线y=k/x (k>0)交于C、D两点，过C作CA⊥x轴于点A，过D作DB⊥y轴于点B，连接AB.

(1)求C、D两点的坐标;

(2)试探究直线AB与CD的位置关系并说明理由;

(3)已知点D(3,2)，且C、D在抛物线y=ax²+bx+5 (a≠0) 上，若当m≤x≤n(其中mn<0)时，函数y=ax²+bx+5的最 小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．

【图文解析】

（1）常规题，含多个参数，但需耐心计算：答案如下：

【法二】非常规设元，避开繁杂的计算

设A(p，0)，B（0，n）．且p≠n．代入直线解析式，得

C(p，p+t)，D(n-t，n)．

又因点C、D在双曲线y=k/x上，

所以p(p+t)=n(n-t)．

即p²+pt=n²-nt．

得(p+n)t＝- (p+n)(p-n)．

因p≠n，得p-n≠0．

所以p+n=0．得p=-n

(根据“0乘以任何数均为0”)

又当t=n时，代入上式p(p+t)=n(n-t)，得p=n=0，得C（0，t），不合题意，舍去．

此时A（-n，0），B(0，n)，易求得直线AB为y=x+n．

又直线CD为y=x+t．t≠n．

所以直线AB∥CD．

（下图是t<0时的情形）

【法三】几何法——简捷直观．

如下图示

不难证S_△CDB＝S_△ODB＝|k|/2．

同理S_△CDA＝|k|/2

所以S_△CDB＝S_△CDA．

如下图示．

根据面积公式，可得BE＝AF，且BE∥AF，进一步可证四边形ABEF为矩形……

（3）当点D（3，2）时，不难求得直线与双曲线的解析式分别为y=x-1或y=6/x．进一步（联立两解析式），得C（-2，-3）．

将点C、D的坐标代入抛物线y=ax²+bx+5 (a≠0) 的解析式，可求得抛物线为y=-x²-2x+5=-(x-1)²+6．其对称轴为直线x=1．

由mn<0且m≤x≤n，知：m<0，n=0．

根据对称轴的位置不同，可分为下列三种情况：

【拓展延伸】若题中的直线和双曲线均改为任意的能够相交的直线与双曲线呢？上述的第二问仍然成立吗？为什么？（如下图为其中的两个图例）

2019年福建省九地市九下质检压轴汇总

中考压轴题复习教学体会系列

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