射线与外接圆交于,易知(另一头是的对径点)注意到由蒙日定理共点于,故到的垂线经过,同理到的垂线,

给出证法二(这个观点在前面做YMO的几何时用过).证法一:

作关于的对称点,(O'其实没用)注意到为等腰梯形,,故五点共圆;结合,

设为过的切线与的交点,则只需证与相切即可,结合关于对称,由对称性知的圆心在连线上,连接,

下证在根轴上.注意到,,结合故注意到为中点,

与交于,则只需证明即可,更进一步我们说明与关于位似.这是因为故,

旁心训练题3-2020Iran3rd-G3·

注意以为为圆心,故为与的公切线,故由蒙日定理共线.再结合的根心在直线上,对用定理,得,

尝试一下反演的观点这道题目本身是伪内切圆的一个性质,

分别共线.由对称性只证明三点共线:只需证.注意到,同理带入即证!证明且注意到,结合,

旦神的自然流另证原题链接如下:垂心训练题11-EGMO2012/7题目如下:垂心为,

求证、、交于一点；证明:先做出关于和的对称点入手,发现、、本来就交于一点(与关于对称)故修改命题为与外接圆交于点,求证、、、四点共圆;因为在的外接圆上,因此;因此,

只是关键在于怎么用证明:过分别做小圆的切线,

今天写一道书上让自己作为练习的题目机缘巧合与IN神的能够在上海见面,

从原来的【数学竞赛的日常】改成了【小馒头的数竞日常】昨天发的少个条件，

没有做过的同学我把链接放在下面:内心训练题12-2019意大利/P5但是本次除了用做过题目的经验做法之外在给大家搞一种非经验类的证明方法,

学生训练有惊喜今天给大家分享一波学生做的蛮好的一个做法,

记为.当然在平面几何上我们更喜欢下面这个版本:交比在平几中的应用:为直线上四点,记为点列,

且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.更多关于彭赛列闭合定理的详细的东西大家可以自己去查阅资料,

一道向量法解平行四边形的问题本题为山东2019年夏令营的题目,

要求看领取2020年与2019年伊朗第三轮几何部分汇编的同学加上对2018年呼声的人数已经占据了粉丝总量的....还没有领取2020与2019伊朗几何汇编的同学请看文末领取方式~题目标签:

1.分享到朋友圈...(不分享的话跳到第二步)2.分享给你的班级群...(不分享的话跳到第三步)3.在公众号平台输入"19伊朗"获取链接;如果分享的效果好的话就把18年和17年的都给大家整理出来,

过作的平行线与外接圆交于点.求证:分析:条件中的应用解答作者就很巧妙的利用上了蝴蝶定理,

题干部分(有题有图):解答部分(有图有详解):小公众号博主不需要大家完成什么任务,

点的对径点,容易知道三点共线;作关于的对称点,则得到平行四边形,即注意到与关于点成位似,故,故四点共圆故,证毕!花花666...随后给大家放出来炸神的推广,

因此初步尝试过作平行线:利用平行关系自然发现平行线与的交点构造出来则出现一组位似三角形,

那我就来一道简单题吧..考试的东西我就不谈了(哭唧唧...)题目标签:

,注意到四点共圆(两直角)则故故结合,得故四点共圆⇒⇒,结合为中点,

,下面证明为中点即可;根据垂心的对称性,与关于对称,进而得九点圆圆与圆关于点位似,(,

只不过是看问题的角度不同;证法一思路(过程在最后):证垂直只需说明即可,

分别于两圆切于,到两圆圆幂相等得,故为中垂线⇒,另外注意到平分,故共线且为中垂线,得,

当你已经基本掌握了初级几何问题(大概IMO第1/4题难度),想要向中级几何问题攀登(大概IMO第2/3/5/6题难度)的时候,你可能需要掌握更多的定理.下面的几个定理也许会对你克服瓶颈有所帮助.本书由原作者Fedir

基础练习4-欧拉线与外切三角形引理回到原题:取出的垂心,由引理1知三点共线;作关于的对称点,则由引理2知,

三线交于一点;证明：设与交于点,下面证明三点共线;作分别关于和的对称线,并交于,Claim1:

伊朗一道题引发的引理Pappus定理及其推广Pappus定理:

enough"证明:作关于的对称点和的对径点,则假设命题成立,则证明为的外心即可;注意到PH=PJ,

但是好在消点比较容易;证明:容易计算,若结论成立则,结合为中点,只需证明平分即可(消去点F);利用面积法,

第一题比较简单就不单独今天当成练习题发下去吧,次日给出答案.题目标签:

延长与外接圆交于点,则易知三点共线,由鸡爪定理故结合故引理证毕!回到原题:倍长至,,

因此只需要证NLMO四点共圆即可;(注意到NO的定义可以改为过I作DH与DG的垂线,

新春的洗礼,很多人已经忘记趁青春仍还在我学会了用回车写诗.浮躁的时代还有人依然记得趁还没有夭折我学会了用回车归来公众号又开始更新了,

则由Simson定理得∠SYE=90°=∠SNE结合(SEYN)与(SYBM)得到△SBM∼△SEN因此得到SE=SF故SN为EF中垂线,证毕!等等!

(消去)下面我们证明四点共圆:注意到因此只需要证明即可!这里注意到:得,

本题将分成三个部分解决:圆穿过的外心.四点共线.为等腰梯形.(思路已经点出来了,

得到(2)和(3)的等价性与上面一样平移即可.引理证毕!回到原题:注意到因此只需要证明即可,在平行四边形中,

喜欢做题的小伙伴赶紧关注吧，每天会发布训练效果比较好的题目，适合准备高联的同学们；有好的想法交流的可以直接在公众号里留言，我看到后会第一时间回复的~这么好的公众号别忘了推荐给身边的老师和同学往期文章回顾（更多请进入公众号菜单中找合集）·

现在学校的破事多了...果真还就身不由己的没时间写东西.(忙里偷闲也必更!)今天的供题者是一位老朋友了,

我们需要以下几步:证明定理证明垂心的根心性质证明共线证明(Steiner's

三点共线对与用验证:是否为1.得前面已知,三式带入证得三点共线.证明也在直线上注意到故四点共圆,因此故也在上,

难度不大.(因为IN神给我的新题我还没做出来...)因为有人问我再刷什么题,