2020年福建宁德九下质检第25题（倒一压轴—纯二次函数，点线距离）试题解析

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第25题（纯二次函数，点线距离）

【宁德二检】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+3的图像经过点M（1-m，n），点N（m+3/a，n），交y轴于点A．

（1）求a，b满足的关系式；（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称．①求a的取值范围；②若点A，P，Q三点到直线l:y=-9x/4+3/2的距离相等，求线段PQ长．

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②易得点A（0，3），直线l与y轴的交点（设为B）为（0，3/2），所以点B为OA的中点.

下面分两种情况：情况一：当点P、Q在直线l同旁时，如下图示：若点A，P，Q三点到直线l的距离相等，
则此时直线PQ∥直线l，得直线PQ为y=-9x/4.联立直线PQ与抛物线的解析式，得ax²+(-a-3)x+3=-9x/4.整理，得4ax²-(4a+3)x+3=0.因点P、Q关于原点对称，所以4a+3=0.解得a=-3/4，符合题意.进一步，得x₁=-2，x₂=2.此时对应的y₁=-9/2.所以P（-2，9/2）.由勾股定理，得所以PQ＝2OP＝√97.
情况二：当点P、Q在直线l不同旁时，法一：不妨设点P在直线l的右侧，作点A关于直线l的对称点A′,根据“点A，P，Q三点到直线l:y=-9x/4+3/2的距离相等”，得A′Q∥直线l，又PQ经过原点O，显然是不可能的，所以情况二不可能再现.法二：如下图示：
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