江苏名师渠东剑：课本例题的理解与教学

            原载《数学通报》2017年第5期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

   欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：      [e-mail]

        渠东剑，南京市秦淮区教师发展中心中学数学教研员，江苏省特级教师，正高级教师，南京师范大学硕士生导师，南京市高中数学渠东剑名师工作室主持人，中学数学骨干教师国培、省培班讲师。

        课本例题的理解与教学^＊  

           渠东剑  

(南京市秦淮区教师发展中心 南京市高中数学渠东剑名师工作室)  

课本，一定意义下是课程标准的具体化，是教师教、学生学的最权威媒体，是教学研究、教学评价与各类考试命题的重要依据。课本的编写，是众多专家智慧的结晶，并经过了教学实践的检验，而不断优化与发展起来的。在教学实践中，课本理应得到高度重视。如果说教学要“用教材教，而不是教教材”，那么首先要“用”课本，用好课本，而用好课本的前提是理解课本，尊重课本。

例题，是数学课本的重要组成部分；例题教学，是数学教学的重要内容。按现代汉语词典，例，用来帮助说明或证明某种情况或说法的事物。数学课本例题，则是以题目（含解题过程）的形式，进一步诠释教学内容、深化知识应用与理解、突出分析问题与解决问题的过程与方法、示范解题过程的书写。课本例题具有基础性、典型性与发展性：例题往往是初学知识的“第一次”应用，是解决相关问题的开始，故一般难度不大，适宜学生学习；在寸土寸金的课本中，例题占有一席之地，其选择一定是精挑细选的、典型的与必要的，随后的练习题等大都有例题的影子，让学生的解题从模仿开始，一定意义下、一定程度地降低了客观存在的学习难度；课本例题一般具有丰富的内涵，因而具有发展性，例如，一些例题常被称作“母题”，由此变式引申拓展，去解决一类问题，几乎每一套高考试卷，均有较大数量的题目来自课本例、习题的组合、改编，绝大多数题目都可以在课本例题中找到它的影子。所以，高度重视、深刻理解、认真研究课本例题，并在实践中努力教好课本例题，是数学教学的必然要求。重视课本必须重视课本例题，用课本教就要用好课本例题；重视课本例题就是重视课本，就是在“用课本教”。

然而，环顾当下的高中数学教学，不重视课本、甚至远离课本已成为普遍现象。无论是新授课教学，还是高考复习教学，一些教师对课本例题不屑一顾，认为其“基本”、“平常”、“单调”，对课本例题教学敷衍了事，甚至置之不理。尤其是时下导学案教学风靡一时，愈演愈烈，其中可能出现了背离教学规律的现象：教学设计服从于解题教学，解题教学追求题型模式，题型模式追求“高、大、上”——忽视学生学习的基本现实，肆意拔高教学要求，执意强调题型全面，变式与拓展脱离实际，使学生的学习无法落地生根……学生的学习深一脚浅一脚，教师的教学失去了定盘星。

有鉴于此，笔者选择苏教版教材上的一些典型例题为例，试图去理解题目内涵，揣摩编者用意，挖掘题目价值，探索教学实践……思考例题教学的应有之义，以期抛砖引玉，使课

本例题的教学回到其应有的、重要的位置上来。

*本文系江苏省教育科学“十二·五”规划2015年度重点资助课题“高中学生数学推理的心理学实证研究”(B—a/2015/02/027)阶段成果

1  从学生认知视角理解课本例题

例1．苏教版必修1—1第三章“导数及其应用”，第3.3节“导数在研究函数中的应用”。在3.3.1 “单调性”中，给出“导数与单调性的关系”的结论之后就是例题1：

确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数；

在3．3．2“最大值与最小值”中，给出“求最大值与最小值的步骤”之后，接下来就是例题，其中第1道题是：

求函数在区间上的最大值与最小值。

这两道例题所研究的对象，是学生再熟悉不过的二次函数，所要解决的问题（单调性、最大值与最小值）早已为学生所掌握，而且从初中到高中不止一次地研究过，可以说这两道题所要研究的问题，对学生而言是已经解决的问题，似乎在这里再出现已无必要。正因为如此，一些教师、甚至一些学生对此所不屑，教学要么一带而过，要么弃之不用。然而，将题目放在例1的位置，明明是要突出其重要性的。那么，编者为什么要这样安排呢？

　　其实，这要从学生认知发展的角度去理解。学生刚刚学习的新知识，其认识是肤浅的，认知结构是不稳固的，尚缺乏心理认可。特别是，这里的单调性、最大值与最小值问题，研究的方法变了，结论的形式是新的。面对新旧认知的矛盾与冲突，学生难免会产生一些疑惑。例如，此单调性与彼单调性、此最值与彼最值相同吗？若相同，为何对已研究过的问题还要重新研究？这里的结论可信吗……按建构主义理论，学生学习建构新知识，要基于已有认知结构，打破已有的认知结构，将新知识纳入到已有的认知结构中去。具体到这里，就需要打通单调性与最值新旧知识之间的联系，用已有的知识去理解新知识，并建立新旧知识间的联系，实现认知的发展。此时，借用学生所熟悉的简单的二次函数作为载体，用刚刚得到的结论去研究其单调性与最值，自然会与原有的认知相互印证，从而达到心理认可，产生积极的学习效果。

因此，用联系的观点、比较的方法去教好这两道“简单题”，让学生“起好步”，是必要的、不可跳过的一步。如果我们借口题目简单，且属于已经解决了的问题，将其舍弃，直接进入较为复杂的例题教学，例如，选择一些非用导数不能解决单调性或最值问题的函数，则可能打破认知的连续性，违反了循序渐进的认知规律。

当然，基于这样的认知起点，实现认知的循序渐进，还在于认知的深化与发展。例如，课本紧接着上面的两例，各自给出相应的例2，对象为三次函数，即分别研究三次函数的单调性与最值问题。而三次函数就没有了上述已有的认知基础，相对学生而言是陌生的，相对于问题的解决，已有的知识与方法不能解决新的问题了，怎么办？矛盾的冲突自然开启“非用导数不可”的话题。而这个新的方法则是刚刚学过的、为已有认知所检验过的、深信不疑的。这正是认知的自然发展、学习新知识的动力所在。从这一点看，编者这样的安排，由浅入深，自然而然，确是匠心独运的了。

2  从整体结构视角理解课本例题

例2．苏教版必修4第一章“三角函数”第1.4节“三角函数的应用”，课本给出2道例题和一个探究案例，其中例2是：

按照本节标题分析该例题的教学，似乎主要是体现“三角函数的应用”，具体地，就是正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用，教学也应围绕如何“用”知识解决实际问题去展开。其实不尽然：

其次，围绕函数y＝Asin(ωx＋φ)的知识的发展线索，我们整体把握课本组织结构：以“摩天轮情境”引入课题，建立三角函数的概念，在研究函数y=sinx,y=cosx的图象与性质时，偶有涉及正弦型函数，主要是“五点法”作图、换元法求其单调区间与最值，等；尔后，专门用一节的篇幅研究了函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，不过用“告知”的方式交代了该函数的生活、物理与工程等背景，故而这个函数怎么来的，为什么会是这种形式，似乎还缺乏应补的一课。

第三，从课程标准“内容与要求”分析。课本标准相关“内容与要求”是：“结合具体事例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义……会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是周期现象的重要函数模型。”笔者认为，具体到该例题的教学，应从以下几个方面去把握：例题教学就是“结合具体事例”的绝好机会，而且就整体把握教材而言是最后的机会了；问题的解决过程，正是“用三角函数解决一些简单实际问题”的过程；例题的教学过程，既是用三角函数解决实际问题，是在教学生“会用……”，又是通过解决问题的建模过程，达到 “结合具体事例，了解……”的目的。学习数学模型的最好方法是亲身经历建立模型的过程，让学生从实际背景出发，将实际问题抽象为数学问题，并围绕数学问题的解决，去经历一系列探究活动过程：怎样想到建立坐标系的，如何建立坐标系，并联系回顾周期概念……就显得十分重要。至于三角函数的应用，自然融合在上述过程中了。

第四，立足于学生能力的发展，该例题的教学，必然要突出建立数学模型的全过程，体现解决现实问题的一般方法，促进学生分析问题与解决问题的提高。即从审题开始，将现实问题抽象为数学问题，建立数学模型，解决数学问题（数学模型），回应回答现实问题。这样的过程，既要让学生亲历亲为，又要在“小结与拓展”阶段，启发引导学生去感悟、总结，以期达到对知识的再回顾，对函数的再建构，对研究方法认识的再深化。

基于上述分析，我们对该例题的教学就不那么茫然、轻率了。相反，该例题的教学要承载更多的内涵，教学具有挑战性，也将大有可为。

3  从思想方法视角理解课本例题

例3．苏教版必修5第三章“不等式”第3.2节“一元二次不等式”，课本首先以具体的一元二次不等式的例子，利用数形结合方法，借助于一元二次函数图象，探究出解一元二次不等式的一般步骤：第一步，解方程；第二步，画出抛物线的草图；第三步，观察图象，得不等式的解集。紧随其后，给出例1：

其后的解题示范过程就是重复上述的解一元二次不等式的步骤。

这组不等式是较为简单的，也是学生所熟悉的。虽然此前没有课本相关章节去专题解决这类问题，但是，就求解这类不等式问题来说，学生可能并无困难。他们在“二次函数”、“集合”、“函数”等有关学习过程中，已多次遇到这类不等式，也掌握了因式分解、画图象观察等解题方法。那么，怎样认识这些简单的问题出现在这里，特别是在第一个例题的位置，且其解法一成不变地重复上述步骤呢？

首先，这几个问题虽然简单，但类型各异：二次项系数有正有负，不等号有大于（大于或等于）有小于，其判别式有正有负……但其解法都可以利用本课伊始探究的一般步骤。因而这个一般步骤具有一般的“算法”的特点，具有较强的可操作性，是学生应该掌握的。

其次，更为重要的，该解题步骤突出了函数、方程与不等式的数学思想：解不等式—解方程—画函数图象，这分明是将不等式的研究统一到函数的大背景下，即将不等式、函数与方程联系起来、统一起来，进而用函数统领函数、方程与不等式研究全局。这正是中学数学的核心知识、观点与方法。

再次，问题解决的过程蕴含了丰富的数学思想方法：函数、方程与不等式、化归与转化、数形结合、分类讨论，等。看似简单，实则寓意深远。

具体到这几道问题的解决，也许上述三个步骤与因式分解相比没有多大优势，一成不变地强调三个步骤没有太多意义，但从课本的整体结构把握，尤其是突出函数这一大观点、大方法去考虑，也许结论就是相反的了。因此在这里，突出解不等式的三个步骤，并一以贯之地执行，既是问题解决自身的需要，更是突出核心观点方法的必然，还有着眼于知识发展的眼光——当后面遇到含有参数的一元二次不等式问题，特别是需要多层级分类讨论的问题时，将更加凸显函数思想方法的优越性，甚至是不二的选择。

4  从解题示范视角理解课本例题

例4．苏教版必修2第一章“立体几何初步”第1.2.2节“空间两直线的位置关系”，在公理4后给出例1及其证明过程：

笔者认为，该例题意在做出两个示范：一是用演绎推理方法去证明立体几何问题，展示严密的逻辑推理链条，体现推理方法，明确哪些是条件，哪些是结论，从条件推得结论有何依据；二是规范的书写表达过程，即将每一个推理的逻辑段串连而成逻辑链，处在中间位置的，既是上一个逻辑段的结论，又是下一个逻辑段的条件，推理步步有据，环环相扣。须知，这是苏教版“立体几何初步”例题中的第一道证明题，对引导学生执果索因，寻找推理的源头，用数学符号语言规范表达交流，重视演绎推理，学习理性精神，形成实事求是的科学态度，无疑具有积极的、重要的意义。

联想这些年高考数学江苏卷阅卷情况，对学生的书写表达有较高的要求，特别是立体几何证明问题，要求学生必须思路清楚、推理严谨、表达规范。一些教师在高三复习教学时，比较重视学生的书写表达，立体几何证明题尤甚。但学生的答卷却不能令人满意。究其原因，可能与平时教学没有落实到位有关。例如，在本例题中，虽然是显而易见的，但却是不能直接利用的现成结论，需要根据长方体的性质，应用公理4去论证。因此，在本题教学过程中，要让学生经历并体会一般的解题过程：怎样分析问题，已知什么，要证什么；而要完成这样的证明，又要做什么；明确哪些是条件，哪些是结论，由条件推得结论的依据在哪里，为什么；怎样用数学语言规范表达……

5  从知识发展视角理解课本例题

　例5．苏教版必修4第二章“平面向量”第2.2.3节“向量的数乘”，先以例题形式给出“三角形中位线定理”背景下的向量共线问题情境，然后给出向量共线定理及其证明，紧接着呈现了如下例题：

总之，课本例题蕴含着丰富的宝藏，需要我们去开发。用好课本例题的前提在于读懂例题；读懂例题需要从多个视角，立足于教材的整体把握，着眼于学生的长远发展利益。在读懂课本例题的基础上，创造性地设计适合的、属于自己的、属于所教学生的教材。“没有最好，只有更好。”让我们一道努力探索下去。

参考文献：

1  单墫．普通高中课程标准实验教科书［M］．江苏教育出版社（南京），2012.6

2　涂荣豹．谈提高对数学教学的认识［J］．中学数学教学参考，2006,1～2：1-5