2020年福建龙岩九下质检第24题（倒二压轴—二次函数，几何计算说理，交点与定点定线）试题解析

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第24题（二次函数，几何计算说理，交点与定点定线）

【龙岩二检】如图，抛物线y＝a(x－m)²＋m/2－2(am≠0)过点A(0，-2)，顶点M在第三象限，B，C是抛物线的对称轴/上的两点，且MB＝MC，在直线l左侧以BC为边作正方形BCDE，点E恰好在抛物线上(1)用含m的式子表示a;(2)求证：点E和点A关于直线l对称;
(3)判断直线CE和直线y＝s(s是常数且s>－2)的交点是否在抛物线上，并说明理由

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【图文解析】

(1)简析：将点A（0，-2）代入抛物线解析式，得a(0－m)²＋m/2－2.整理，得am²+m/2=0.因am≠0，所以a=-1/(2m).(2)设MB＝MC＝t，如下图示：将点M的坐标和a=-1/(2m)代入抛物线的解析式，得
解得t=-m/2(t>0).所以E（2m,-2）与点B（0，-2）关于直线l（对称轴x=m）对称.(3)由（2）知：E（2m,-2）. C(m，m-2).设直线CE为y=kx+b,将点C和点E坐标代入，得所以直线CE为y=-x+2m-2=-(x-2m)-2.法一：将点E（2m,-2）代入抛物线解析式，得-2＝a(2m－m)²＋m/2－2.得m/2= -am².抛物线解析式可改写为y＝a(x－m)²-am²-2.即y=ax(x-2m)-2(其中a=-1/(2m)).联立直线CE和抛物线的解析式，得ax(x-2m)-2=-(x-2m)-2.移项，并因式分解，得（x-2m）(ax+1)=0.解得x₁=2m,x₂=-1/a=2m＝x₁.即抛物线或直线CE只有一个交点E（且直线CE ：y=-x+2m-2与y轴不平行）. 如下图示：而y_E=-2，且因s＞-2,得直线y=s与直线CE相交的交点纵坐标不可能是-2.所以直线CE和直线y＝s(s是常数且s>－2)的交点不可能在抛物线上，

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法二：设直线CE与直线y=s(s>-2)的交点为N，则有：（下面是试卷中的标答）

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