2020年福建龙岩九下质检第25题（倒一压轴—圆，相似，三角函数）试题解析

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第25题（圆，相似，三角函数）

【龙岩二检】如图，在半径为5的⊙O中，AB是直径，点D是弧BC中点，连接AD，交BC于点H，弦DE⊥AB于点G，交BC于点F，过E的切线EP交AB的延长线于点P，BG＝2(1)求DE的长;(2)连接OF，求证:OF∥AD;
(3)当点M在弧DE上运动时，连接GM，PM，求GM/PM的值.

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如果你在阅读本文，烦请在文章右下角点亮“在看”！对你来说，花不了多少时间，却能给作者带去信心和鼓励.你的一个“在看”就会让你的朋友知道你在阅读这篇文章，也许他（她）们也因你的“在看”而阅读本文，给本文带来人气，给作者持续向前的动力！【图文解析】(1)法一：如下图示：法二：如下图示：由tan∠A＝tan∠BDG，得BG：DG＝DG：AG，得DG²＝AG×BG＝16，……（2）法一：如下图示：或：可得OF垂直平分BD，而∠ADB＝90°，……
法二：如下图示：法三：如下图示：

(3)如下图示，

根据已知条件和上述的结论，可利用三角函数的定义、相似或勾股定理，求得OP，进一步，得PB的长.如：OP=OE/cos∠POE＝5/（3/5）＝25/3，得PB＝10/3.当点M与点B重合时时，如下图示：此时PM/GM＝（10/3）/2＝5/3.当点M在弧DE上（且与点B不重合）时，如下图示：

由OM＝5，OG＝3，OP＝25/3，可求得OG/OM＝OM/OP＝3/5.又∠MOG＝∠POM，得△MOG∽△POM，所以PM/MG＝OM/OG＝5/3.

综上所述，当点M在弧DE上运动时， GM/PM的值为5/3.

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【拓展思考】——仅作为教研用，不提供答案
（1）若点M在整个圆O上运动，第3问的结论还成立吗？（2）若BC＝a(a<5)，则PM/MG的值为定值吗？说明理由.（3）若点C为⊙O的一个动点，设BC＝x，PM/MG＝y，你能求出y与x的函数关系吗？
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