邹生书——圆锥曲线极点极线背景下高三百校联合测评选择题解法研讨
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圆锥曲线极点极线背景下高三百校联合
测评选择题解法研讨
湖北省阳新县高级中学 邹生书
这是2020年12月28日开考的“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试题的第8题，也就单项选择题的最后一题，是单选题中的压轴题，难度较大。下面从知识和方法给出本题的几种思路与解法，并揭示命题背景，与读者朋友交流分享。
思路一：间接法——用特殊化和极限化方法求解
于是解决问题的关键是要求出点N的横坐标，而点N是直线AP与BQ的交点，故可通过联立两直线方程求得。
说明：上述解法由湖北省阳新县高级中学陈兵老师提供。
解法2:用极限方法求解
当P,Q两点重合时，直线AP和BQ的交点N和P,Q三点同为一点，此时直线MN与椭圆相切于N.
法1：判别式法
设切线MN的方程为x=my-4,将其代入椭圆方程整理得
法2：直接运用课本结论椭圆在某点处的切线方程求解
点评：本解法从问题的极限状态入手，想象丰富，思想解放，解法大胆创新。极限思想，别有洞天。用切线方程，简化了运算。
思路二：直接法——把小题当作大题来做
解法3（小题大做，直接法硬算求解）
于是解决问题的关键是要求出点N的横坐标，而点N，而直线AP与BQ的交点，故可通过联立两直线方程求得。
点评：本解法是韦达定理非对称式问题的求解，如若不能从两根之和与两根之积中得出两者间的关系，则解法会因此而夭折。请记住：上帝给你关上一扇门口必定会为你打开一扇窗。本解法运算量大，方法独特，对于一道选择题来说，显然是小题大做，费时耗力。但小题大做，逻辑推理运算求解，可以得出一般性的结论，证明我们的猜想和上述解法是正确的。
思路三：用高等几何极点与极线的性质求解
解法4：用高等几何极点与极线的性质求解
因为A,B,Q,P是椭圆上四点，AB与PQ相交于点M，AP与BQ相交于点N，由圆锥曲线极点与极线的性质知，点N在点M(-4,0)关于椭圆对应的极线x=-1上，所以点N的坐标为(-1,n).
点评：用高等几何极点与极线的性质求解，登高望远，层高临下，体现高观点，低运算。圆锥曲线极点极线的有关知识和结论是本题命题的源头背景。
往期回顾
一、集合、充分条件与必要条件部分
5.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
二、函数与方程部分
14.邹生书——二次函数方程a[f(x)]^2+bf(x)+c=0实根问题的求解通法
16.做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点
17.做一题，归一类，得一法（九）——利用函数的对称性，巧解函数题
20.做一题、归一类、得一法（十五） ——高中数学要学好、同构思想不可少
21.做一题、归一类、得一法（十六）——奇偶与对称不分家、平移图像可互化
22.做一题、归一类、得一法（十七）——复合函数的零点问题的求解
23.做一题、归一类、得一法（十八）函数零点代数式的范围的求解
26.学习新教材、探究新习题(三）---几个有着几何背景的代数推理证明题
三、三角与向量问题
1.做一题做一题、归一类、得一法（六）—横、纵坐标正余弦、定位单位圆
2.做一题，归一类，得一法（一）——求向量的数量积时遇到外心用投影
3.做一题、归一类、得一法（四）——一个共点的三个向量的线性表示及变式、延伸
四、数列部分
1.做一题，归一类，得一法（八）上——求通项重转化，招数用尽需归纳
2.做一题，归一类，得一法（八）下——求通项重转化，招数用尽需归纳
五、不等式部分
5.做一题，归一类，得一法（十）——等和不等一字差、依据条件可转化
六、解析几何部分
1.做一题，归一类，得一法（二）——用几何法判断直线与椭圆、双曲线的位置关系
2.【读者来稿】再谈重庆市南开中学2019-2020学年高一下学期期末数学考试解析几何解答题
3.做一题，归一类，得一法（三）——一类直线过定点问题的统一求解方法
4.做一题、归一类、得一法（七）——圆锥曲线的一个二级结论在求角等方面的应用
5.做一题，归一类，得一法（十三）—与圆锥曲线的焦点弦有关的一组性质及应用
6.做一题、归一类、得一法（十四）——将军饮马小河边、椭圆光学总相伴
11.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
18.骆妃景 潘敬贞--聚焦核心素养，深度变式探究 ——一类解析几何面积最值问题的教学实录及反思
26.金磊——焦半径与焦点三角形性质 ---“圆锥曲线系统讲义”第一篇
28.高考试题中的一个热点问题1： 抛物线中的焦半径、焦点弦的考法
29.金磊——直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之（五）
32.考前晃一晃、喝前摇一摇——椭圆与双曲线中常见的几个对偶性质及推导
33.做一题，归一类，得一法（十九)——圆锥曲线焦半径公式的应用(培优）
七、立体几何部分
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