邹生书——从八省联考第7题例析圆锥曲线双切线问题的处理方法
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《做一题、归一类、得一法》系列回顾
1.做一题，归一类，得一法（一）——求向量的数量积时遇到外心用投影
2.做一题，归一类，得一法（二）——用几何法判断直线与椭圆、双曲线的位置关系
3.做一题，归一类，得一法（三）——一类直线过定点问题的统一求解方法
4.做一题、归一类、得一法（四）——一个共点的三个向量的线性表示及变式、延伸
5.做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点
6.做一题做一题、归一类、得一法（六）—横、纵坐标正余弦、定位单位圆
7.做一题、归一类、得一法（七）——圆锥曲线的一个二级结论在求角等方面的应用
8.做一题，归一类，得一法（八）上——求通项重转化，招数用尽需归纳
9.做一题，归一类，得一法（八）下——求通项重转化，招数用尽需归纳
10.做一题，归一类，得一法（九）——利用函数的对称性，巧解函数题
11.做一题，归一类，得一法（十）——等和不等一字差、依据条件可转化
14.做一题，归一类，得一法（十三）—与圆锥曲线的焦点弦有关的一组性质及应用
15.做一题、归一类、得一法（十四）——将军饮马小河边、椭圆光学总相伴
14.做一题、归一类、得一法（十五） ——高中数学要学好、同构思想不可少
16.做一题、归一类、得一法（十六）——奇偶与对称不分家、平移图像可互化
17.做一题、归一类、得一法（十七）——复合函数的零点问题的求解
18.做一题、归一类、得一法（十八）函数零点代数式的范围的求解
19.做一题，归一类，得一法（十九)——圆锥曲线焦半径公式的应用(培优）
20.做一题、归一类、得一法（二十） ——圆锥曲线一类定值问题的统一求解方法
《学习新教材、探究新习题》系列回顾
学习新教材、探究新习题(三）---几个有着几何背景的代数推理证明题
从八省联考第7题例析圆锥曲线双切线
问题的处理方法
湖北省阳新县高级中学 邹生书
我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题。这类问题由于涉及双切线、双切点、双斜率，在引参、设点、设直线方程和求解过程中，处理方法特殊技巧性强，对运算能力和方程思想的灵活运用要求较高，是圆锥曲线的一个难点和热点问题。本文通过典型例题赏析圆锥曲线双切线问题的处理方法。
例1（2021年八省联考第7题）
解法1：一个易想难算的解法
本题的一个很容易想到的解法是：已经知道了直线AB,AC过定点A,再根据它们与圆相切求出两切线的斜率，继而求出两条切线的方程，接下来分别求出两条切线与抛物线的两个交点B,C的坐标，继而求出直线BC的方程。这个解法很容易想到，但运算量较大，容易算错，即使做对了，也是费时耗力，也是对而不美。解法如下：
评注：切线斜率还可以通过几何法求得，如图，直角△ADE中，AD=2DE,得∠DAE=300,则直线AB的倾斜角为600,从而其斜率为√3，则直线AC的斜率为-√3。
解法2：一个优美解法
注：上述优美解法由广东深圳张俊老师提供。
点评：上述解法先设点再求线，设而不求，解法优美，赏心悦目。本解法先根据点B在抛物线上，由抛物方程用其纵坐标设点B的坐标，然后由A,B两点求出直线AB的方程，再由直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，由点线距离公式得出点B纵坐标的等量关系式，再平方整理得出点B纵坐标的一元二次方程，接着用点B在抛物线上，将点B纵坐标的一元二次方程化为点B横坐标与纵坐标的二元一次方程，最后用曲线与方程的关系使问题得以解决。
与上述八省联考第7题一个类似的题目如下：
评注：证法2设切线斜率，利用直线与曲线相切判别式为零从而得出关于斜率的一元二次方程，再利用根与系数关系求解，解法一箭双雕、整体替换、设而不求，堪称妙解。我们用此法探求椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹，同样可获得良好的效果。
由例5、例6知，无心圆锥曲线（抛物线）互相垂直的两条切线的交点的轨迹是一条直线，并且该直线就是准线。有心圆锥曲线互相垂直的两条切线的交点的轨迹是一个圆，我们不妨称此圆为有心圆锥曲线的“准圆”。
往期回顾
一、集合、充分条件与必要条件部分
5.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
二、函数与方程部分
14.邹生书——二次函数方程a[f(x)]^2+bf(x)+c=0实根问题的求解通法
16.做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点
17.做一题，归一类，得一法（九）——利用函数的对称性，巧解函数题
20.做一题、归一类、得一法（十五） ——高中数学要学好、同构思想不可少
21.做一题、归一类、得一法（十六）——奇偶与对称不分家、平移图像可互化
22.做一题、归一类、得一法（十七）——复合函数的零点问题的求解
23.做一题、归一类、得一法（十八）函数零点代数式的范围的求解
26.学习新教材、探究新习题(三）---几个有着几何背景的代数推理证明题
三、三角与向量问题
1.做一题做一题、归一类、得一法（六）—横、纵坐标正余弦、定位单位圆
2.做一题，归一类，得一法（一）——求向量的数量积时遇到外心用投影
3.做一题、归一类、得一法（四）——一个共点的三个向量的线性表示及变式、延伸
四、数列部分
1.做一题，归一类，得一法（八）上——求通项重转化，招数用尽需归纳
2.做一题，归一类，得一法（八）下——求通项重转化，招数用尽需归纳
五、不等式部分
5.做一题，归一类，得一法（十）——等和不等一字差、依据条件可转化
六、解析几何部分
1.做一题，归一类，得一法（二）——用几何法判断直线与椭圆、双曲线的位置关系
2.【读者来稿】再谈重庆市南开中学2019-2020学年高一下学期期末数学考试解析几何解答题
3.做一题，归一类，得一法（三）——一类直线过定点问题的统一求解方法
4.做一题、归一类、得一法（七）——圆锥曲线的一个二级结论在求角等方面的应用
5.做一题，归一类，得一法（十三）—与圆锥曲线的焦点弦有关的一组性质及应用
6.做一题、归一类、得一法（十四）——将军饮马小河边、椭圆光学总相伴
11.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
18.骆妃景 潘敬贞--聚焦核心素养，深度变式探究 ——一类解析几何面积最值问题的教学实录及反思
26.金磊——焦半径与焦点三角形性质 ---“圆锥曲线系统讲义”第一篇
28.高考试题中的一个热点问题1： 抛物线中的焦半径、焦点弦的考法
29.金磊——直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之（五）
32.考前晃一晃、喝前摇一摇——椭圆与双曲线中常见的几个对偶性质及推导
33.做一题，归一类，得一法（十九)——圆锥曲线焦半径公式的应用(培优）
七、立体几何部分
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