教学研讨｜1.3.1函数的单调性

请关注阳光备课 2023-02-05

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▍来源：网络

函致单调性概念的抽象过程、函数单调性主题教学设计

研讨素材一

一、教学内容解析

本节内容是人教A版必修一教材第一章第三节内容，是一节概念性知识，属于函数的基本性质．本节内容是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的运用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像的知识的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础．

学生在观察函数图像时，首先注意到的是图像的上升或下降，但是由图像直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以论证．教学中充分利用函数图像，让学生观察图像获得函数基本性质的直观认识，这样处理充分体现了数形结合思想，也为下一步学习函数其他性质提供了方法依据．由此确定本节课的教学重点为：

重点：函数单调性的概念及判断．

研究函数性质时的“三步曲”是：第一步，观察图像，描述函数图像特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质．本节课特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概括过程，并引导学生用数学语言表达出来，正是形成数学概念，培养学生探究能力的契机．

由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，教学中充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性．

二、教学目标设置

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标：

知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

情感、态度、价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

三、学生学情分析

本节课的教学对象是长春市实验中学高一年级的学生．

1.学生已有认知基础

一是学生通过初中的数学学习，已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验，对函数的简单性质有初步的认识；二是前一节已经学习过函数的概念，对函数的图像也有一定的感性认知；三是能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力．

2.达成目标所需要的认知基础

学生需要对研究目标、方法和途径有初步认识，具备知识整合和主动迁移的能力，从形的直观认识、感性认知到形成抽象的数学概念，具有数形结合的意识和归纳推理的能力．

3.难点及突破策略

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：

（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；

（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．由此确定的难点及突破策略为：

难点：（1）函数单调性概念的形成；

（2）理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义．

突破策略：

（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程．

四、教学策略分析

根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．

针对本节课的重点——函数单调性的判断和证明，教学中采用直观到抽象，特殊到一般，感性到理性的教学过程，先通过讨论具体函数图像的上升或下降直观描述发现问题，再把具体的、直观形象的单调性特征抽象出来，用数学符号语言描述．

本节课的难点之一是单调性概念的得出．教学中采用教师启发引导，学生自主、合作、探究的教学方法，以及多媒体直观教学的恰当应用，使学生从感性认识上升到理性认识，从“形”的直观到“数”的推理，从“无限”验证转化为“有限”证明，使学生对单调性概念的理解水到渠成，逐层深入，步步升华．

本节课的另一个难点是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的实数．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生通过对图像的观察、分析，自主形成认识；二是通过小组研讨的方式让学生进行合作探究，加深对概念中“任意”含义的理解．

五、教学过程设计

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研讨素材二

一、教学内容解析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的理论依据，在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有重要应用，因而函数单调性概念是中学数学中最重要的概念之一．

在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．

在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

本节课的教学重点：形成增（减）函数形式化定义

二、教学目标设置

（一）学习目标

1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.

2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．

3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

（二）目标解析

1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.

2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．

3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)”的数学语言进行刻画.从函数f(x)=x²入手归纳函数单调性定义推广到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．

三、学生学情分析

学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量x的变化而变化的规律和性质.

“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“f(x)随着x的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x₁，x₂

教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“f(x)随着x的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图表观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．

教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。

四、教学策略分析

为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：

（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．

（2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数f(x)=x²图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．

①以学生熟悉的函数f(x)=x²为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．

②通过观察函数f(x)=x²的x,y对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“f(x)随着x的增大而增大” 来描述 “函数f(x)=x²的图象在y轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．

③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数f(x)=x²在(0,+00)的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．

（3）注重思想方法的培养．从函数f(x)=x²图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．

（4）注重数学应用意识的培养．在整个教学过程中，通过温度曲线创设情境，找准切入点，进入新课．在练习1（1）中，利用温度曲线构造反例，帮助学生理解函数单调性中的“任意性”．在归纳反思中，利用温度曲线说明学习函数单调性知识具有实际意义．

五、教学过程

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