教学研讨｜2.5 等比数列的前n项和

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▍来源：网络

研讨素材一

热文：

“等比数列前n项和公式”教学实录与反思

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：

四、教学目标

1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。

3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

五、教学重点与难点

重点：掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。

难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。

六、教学过程

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研讨素材二

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用

《等比数列的前项和》是必修5第二章数列中的一个重要内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础。错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

2．教材编排与课时安排

提出问题→探究等比数列前项和公式→公式运用→问题解决。

本节“等比数列的前项和”这部分内容授课时间为2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

二、教学目标

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：

理解并掌握等比数列前项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。

感悟并理解公式的探求过程，感受公式探求过程所蕴涵的的思维方法，渗透类比思想、方程思想、分类讨论思想，优化思维品质，初步提高学生的数学问题意识和探究、分析与解决问题的能力。

通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验。

三、重、难点分析

1.教学重点

等比数列前项和公式的推导及其简单应用。

2.教学难点

等比数列前项和公式推导方法的理解。

四、学情与教法分析

1．学情分析

从学生思维特点和认知结构看，学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和、等比数列等知识，会使用类比、分类讨论等数学方法解决数学问题。但在尝试探究解决数学问题的过程中往往缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

2．教法分析

根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用多媒体课件辅助教学，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。

五、教具准备

多媒体课件

六、教学过程

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研讨素材三

一、内容和内容解析

（一）教材的地位和作用

从教材的编写顺序上来看，等比数列的前项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又是进一步研究较为复杂的数列问题的基础内容.

就知识的应用价值上来看，它是从大量现实问题和数学问题抽象出来的一个模型，其来源于生活，服务于生活，是解决诸如“分期付款”等实际问题的重要模型；此外，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法，如分类讨论、特殊到一般等也是数学研究的主要方法.

就内容的人文价值上来看，等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学素养的良好载体．

教师教学用书安排“等比数列的前项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系.

（二）教学重点

重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．

突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想；（三）素养线：数学抽象素养→运算能力→逻辑推理素养.

二、目标和目标解析

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，并在“教”与“学”的过程中，培养学生良好的数学素养.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定的教学目标如下：

1.能从具体的数列中，通过计算，观察、梳理式子的共同特征，归纳猜想出等比数列前项和的表达式，并利用分析法加以证明；

2.引导学生亲历公式的探索发现过程，理解等比数列的前项和公式的推导方法，体验探索的成功与快乐，渗透特殊到一般、函数与方程、分类讨论及转化思想；

3.通过从猜想到证明的过程以及分类讨论的教学，掌握等比数列的前项和公式并能运用公式解决一些简单问题，培养学生思维的严谨性，提高学生数学抽象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养.

三、教学问题诊断分析

学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前项和的公式等数列相关知识，具备一定的观察、归纳、猜想能力，了解了一些研究数列的基本策略和方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求.

但从知识本身特点来看，等比数列前项和公式的推导方法——错位相减法，是学生第一次碰到.它和等差数列的的前项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的定义和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说恰又是比较困难的.这就需要学生具备较强的探究能力、计算能力、对数列通项的归纳能力和思维的严谨性.

基于以上分析，等比数列前项和公式的推导是本节课的教学难点.为了突破这一难点，考虑通过计算具体的等比数列前项和，利用归纳猜想的方法，以问题为阶梯，一步步引导学生猜想出公式，并根据公式的特征给出证明思路.

四、教学支持条件分析

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，本节课将借助计算机多媒体辅助教学，采用“启发和探究-建构教学相结合”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题——探索规律——验证规律——应用规律四个阶段，层层递进，阶梯式上升.教师给学生较充分的思考时间，从传授变为引导，让学生经历对问题的思考、变通、迁移过程，体会数学概念形成过程以及其中蕴涵的数学思想方法，积累基本数学活动经验，培养学生的数学探究能力、知识应用能力、交流与合作能力、反思能力，提高学生的数学核心素养.

五、教学过程设计

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