教学研讨｜3.1.1方程的根与函数的零点

请关注阳光备课 2023-02-05

阳光备课

手机在手,备课无忧,学习不愁

点击上方蓝字，随时随地备课

关注“阳光备课”，点“往期文章”，必有你所需。

教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台的部级优课，或全国青年数学教师优秀课的获奖作品，由阳光备课整理，仅供各位老师参考，版权归原作者所有。

▍来源：网络

相关：人教A版“方程的根与函数的零点”的教学

研讨素材一

一． 教学内容分析

本节内容是高中数学人教版必修一，第三章函数的应用，第一节函数与方程第一课时方程的根与函数的零点；课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.

二、教学目标

1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；

2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；

3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间

4.经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．体会从特殊到一般的转化的数学思想。

三、学情分析

通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样就使得方程与函数联系的过度学生容易掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点，学生会表现出不适。而本节的零点存在定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从不同的角度审视定理的条件与适用范围

四、教学策略选择与设计

本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会，只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程

五、教学重点及难点

教学重点：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．

教学难点：对零点存在性定理的准确理解

六、教学过程

关注公众号：阳光备课

研讨素材二

【教材分析】

本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数y=f(x)零点就是方程f(x)=0的实数根，即函数y=f(x)的图象与轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数y=f(x)在区间【a,b】上图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c属于(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。

【教学目标】

1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。

【学情分析】

1.学生具备的知识与能力

(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与轴的交点横坐标之间的关系。

(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2. 学生欠缺的知识与能力

(1)超越函数的相关计算及其图象性质.

(2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出来.

【重点难点】

重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

【教学策略】

引导学生用联系的观点理解有关内容，从二次函数入手，使学生了解函数零点的概念及零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。

通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。

本节学习的主要载体是函数图象。为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高课堂效率。注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深，逐步突破重点和难点。

【教学流程】

关注公众号：阳光备课

研讨素材三

一、 教学内容解析

《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.

本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.

二、教学目标设置

1．知识与技能：

（1）理解函数零点的定义；

（2）掌握零点存在区间的判断方法.

2. 过程与方法：

（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的关系；

（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；

（3）由学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.

3. 情感、态度、价值观：

（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；

（2）感受学习、探索、发现的乐趣.

教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.

教学难点：理解函数零点存在的判定条件.

三、学生学情分析：

通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过x轴（次数不限），即曲线与轴一定有公共点（个数不限），可以用f(a)f(b)<0来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.

所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.

四、教学策略分析

关注公众号：阳光备课

研讨素材四

关注公众号：阳光备课