教学研讨｜3.1.2 用二分法求方程的近似解

请关注阳光备课 2023-02-05

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▍来源：网络

研讨素材一

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教A版）第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第二小节《用二分法求方程的近似解》.

一、教学背景分析

1.教学内容分析

函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型，本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数（I）之后，研究函数与方程关系的内容，是《函数与方程》一节的重点.

二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节课学生通过对具体实例的探究，借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解，经历用函数的观点看方程的思维过程，在问题的解决中突出函数的应用，深化对函数与方程联系的理解，初步形成用函数观点处理问题的意识，这是本节课的一条明线；总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，发展学生的数学抽象能力，是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线.

图形计算器可以实现求方程的近似解，但是内置的程序是由人设计的，并且“二分法”的产生要远远早于计算器，因此对于此内容的学习是十分必要的：我们要“教”计算器如何求解.

2.学生学情分析

初中阶段，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程，并会用求根公式求一元二次方程的根；高中阶段，学生学习了基本初等函数（I），对指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质都有了比较深入的研究，同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用；另外，前一节内容的学习，不仅把函数与方程联系起来，还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。这些都为本节课的学习奠定了基础.

同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现，学生对于“精确度”的概念非常模糊，这也对我们的教学提供了参考.

二、教学目标设计

基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：

1.知识与技能

（1）通过具体实例，能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解（给定精度），体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；

（2）通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来；

2.过程与方法

经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似值、总结二分法实施步骤的过程，体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等；

3.情感态度与价值观

引导学生用联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系；发展学生的理性思维.

【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.

【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.

三、教学策略分析

为了更好地突出重点，我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题——求方程的近似解，首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例lnx+2x-6=0阐释.在这个过程中借助图形计算器充分体现数形结合思想，并将数形结合思想具体化落实：1.从数到形：方程的解——函数的零点——函数图象与轴的交点；2.从形到数：交点的坐标——数轴上的区间——表格数据——二分法的形成.

为了突破难点，在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情：“如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等，由此引出 “精确度”的概念.为了突破此难点，首先在引入中用“误差”做铺垫，同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的，在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么，第二步做什么……”，然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述，同时利用数轴的直观来突破符号语言中“赋值”这一难点.

本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解，体会二分法思想”，为了不冲淡本节课的主题，在教学中设计应用TI图形计算器：作图功能、表格功能（计算函数值）、求解功能.图形计算器的使用，可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实，对知识的发展起到了助力作用.

三、教学过程

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研讨素材二

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，在教学过程要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步。

二、学生学习情况分析

学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．

三、设计思想

倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合. 四、教学目标

知识与技能目标：

（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法。

（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。

过程与方法目标：

（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。

（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。

情感态度与价值观目标：

（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。

（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。

五、教学重、难点：

重点：

二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。

难点：

求方程近似解一般步骤的理解和概括。

六、教学过程：

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研讨素材三

一、教学目标

1、知识目标:掌握用二分法求方程近似解的方法;

2、能力目标:体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法; 在学习过程中,让学生感受近似、逼近的思想方法; 体会数学表示的严谨性;体会二分法在生活中的应用;

3、情感目标:培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

二、学情分析

同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识;而二分法来自生活,是由生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发学生的学习兴趣,达到渗透数学思想关注数学文化的目的,学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间的缩小、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际,是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。

三、重点难点

教学重点:

用二分法求方程的近似解方法; 体会方程的根与函数零点的关系。

教学难点:

求解过程中函数零点与方程根的转换,用二分法求函数零点步骤的归纳提炼。

四、教学过程：

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研讨素材四

一、教学目标

1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2．利用动画视频展演来培养学生直观想象和迁移能力，通过让学生总结二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力；在计算器操作的过程中培养学生的动手实践能力；在解决实际问题的过程中培养学生的运用数学知识的能力。

3．通过创设生活情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感;在二分法的类比发现、实验探索、迁移应用的过程中，学生获得成功的体验，注重培养团队协作的意识。

二、学情分析

在知识储备上，学生们有了前一节《函数的零点》的学习基础，对函数的零点概念及所在区间的确定方式具备基本的认识；高一学生的理性思维日趋成熟，对外界事物充满探究欲望，而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，是能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解二分法思想，总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。让学生充分感受到数学探究与发现的乐趣。

三、重点难点

【重点】：

（1）能够借助计算器进行数学实验，结合二分法求相应方程的近似解；根所在区间的确定及逼近的思想；

（2）二分法的实际应用。

【难点】：

（1）对二分法的理论依据的理解，“无限逼近”即区间长度的缩小的探究方法初步应用；

（2）利用计算器进行数学实验；

（3）二分法思想在变化的条件和情境中的灵活应用。

四、教学过程：

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