教学研讨｜2.3.1 直线与平面垂直的判定（第2批课例）

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▍来源：网络

研讨素材一

一、教学内容解析

1.本节内容选自高中数学人教A版必修二第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念性知识.

2.本节课教学内容的内涵是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理的过程。其核心是理解判断定理的条件。由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间进行转化，把线面垂直问题转化为线线垂直问题。

3.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的示范.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.

4.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法。提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养。因此学习这部分知识有着非常重要的意义.

二、教学目标设置

1.课标要求：

（1）借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面关系的定义。

（2）以立体几何的某些定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质和判定。

2.根据课标要求、教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标如下。

（1）借助生活中直线与平面垂直的实例，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，能够抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象和直观想象素养；

（2）借助长方体和折叠三角形纸片，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养；

（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升逻辑推理素养。

针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：

评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并由此抽象出直线与平面垂直的概念；

评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成对定义的探索.

评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并能用自己的语言描述定义内容.

评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并能用符号语言表征.

评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设.

评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并用符号语言表征.

评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.

三、学生学情分析

1.学生已具备的认知基础：

所教学生是生源较好的包头市第九中学高一年级理科班的学生，在初中学习的内容中，学生已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，在高中也已经学习了直线与平面平行的判定定理和性质定理，对空间概念建立了一定的基础，同时也有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力。

2.学生面临的问题：

在利用直线与平面垂直的定义直接判定直线和平面垂直的过程中，需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这在实际运用时是有困难的，如何引出定理，理解“平面化”的思想和“降维”的思想，会给学生造成一定困难。而且学生的能力发展正处于从形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维，这方面的不足也会对本节课的学习有一定的影响，分析以上因素，我确定本节课的教学难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.

突破难点的策略是，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.

在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在理解上可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.

四、教学策略分析

1.教学材料的分析

在直线与平面垂直概念形成的过程中，构建“旗杆为什么与地面垂直？”的问题情境，通过图片实例、动画展示，在师生互动中，让学生认识到“旗杆与地面内的所有直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义。通过观察及小组讨论“为什么比萨斜塔看起来与地面不垂直？”得出“只要地面内有一条直线与比萨斜塔所在直线不垂直，那么比萨斜塔所在直线与地面所在平面不垂直。”这就从正反两方面说明了定义的合理性。在探究判定定理的过程中，通过长方体模型和折叠三角形纸片，让学生通过具体操作进行验证。

2.教学方法的分析

采用“启发－探究”的教学方法，以及“直观感知-操作确认”的认识过程组织教学活动。通过一系列的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究、总结，帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现，并且在充分理解判定定理的基础上能对其进行简单应用，能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。

3.通过问题引导学生数学思维活动的分析

设问1：现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的形象，一条直线与一个平面垂直的确切意义到底是什么呢？通过设问，让学生从实际背景出发，直观感知直线与平面垂直的位置关系。

设问2：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？通过设问引导学生用平面化的思想来思考问题。

设问3：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施，有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面的垂直呢？通过操作确认引导学生发现直线和平面垂直的条件。

设问4：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？通过设问，引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，获得判定定理。

4.分层教学过程体现

（1）观察部分学生能否根据老师引导，正确进行实验操作，并在观察、分析中达到预设目标，过程中给予恰当引导。

（2）听1-3名学生的描述，若不能准确表达出直线与平面垂直的定义，再让其他同学予以补充。

（3）让学生以小组为单位进行合作，以优带差，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系。

5.学生学习反馈的分析

（1）观察学生摆出的线面关系是否正确，来判断学生是否积累大量生活中对直线与平面垂直的形象.

（2）观察学生的探究活动能否在老师指导中顺利展开，是否在活动中有思考，有获得.

（3）根据学生的回答判定学生是否准确掌握定义的内涵.

（4）根据学生对假设命题正确与否的解释，判断学生是否掌握探究问题的一般思路.

（5）观察学生的折纸结果是否满足要求，能否在分析折叠步骤中，体会出折痕的特点，自然发现直线与平面的判定方法.

（6）根据学生回答判断是否掌握直线与平面垂直的判定定理的使用.

（7）关注学生是否能用规范的数学语言、符号来表述解答过程；

（8）关注学生能否独立按时完成当天作业,评价作业的正确率.

五、教学过程

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研讨素材二

一、 教学内容解析：

本节课选自人教A版教材必修2中第二章第三节第一小节《直线与平面垂直的判定》，共2课时，本节为第一课时。本节课的内容主要包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识．线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后，紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.线面平行研究了定义、判定定理、相关结论以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范例.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.

教学重点是操作确认并概括出直线与平面垂直的定义，对直线与平面垂直的判定定理的探究及简单应用．判定定理的教学，尽管新课程在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想，是本节课的重要任务．

通过本节课的学习研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．

二、 教学目标设置：

课程和单元目标：

教材淡化了对定理的证明，侧重于对几何体的直观感知，这就要在教学过程中多设置学生的自主观察环节及动手体会的过程.通过学生亲身经历观察、发现、猜想、直观感知、操作确认、思辨论证等定理形成与应用的全过程，使学生真正地逐步具备空间想象能力，以及体会等价转化思想在解决问题中的运用.最终达到，学会数学知识，更学会数学方法.

课堂教学目标：

（1）、学生通过对实例、模型的观察、抽象,概括出直线与平面垂直的定义，并对定义进行应用.让学生分组探究、猜想、归纳直线与平面垂直的判定定理，能对定义与判定定理进行简单应用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；

（2）、学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并尝试用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义、定理进行准确表述．在活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力；

（3）、在探究线面垂直的定义和判定的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于观察、勇于探索的良好习惯.

三、 学生学情分析：

学生已学过了两直线垂直关系的判定，以及线面平行关系的判定和性质，有了“通过观察、操作，然后抽象概括出数学结论”的经验与体会，有一定的空间想象能力、推理论证能力以及运用图形符号进行交流的能力，具备学习本节知识的基础.

要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用类比、化归等数学思想，同时具备较好地观察发现、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.存在的认知困难：一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义.因为学生直观感知中的形象与定义中“直线与平面内任意一条直线都垂直”的内涵有一定的潜在距离；二是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解.因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”，这种有“有限”代替“无限”的过程在一定程度上会使学生产生思维障碍.

教学难点： ①从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义；②探究、归纳、理解直线与平面垂直判定定理，突破“无限”与“有限”的转化.

四、 教学策略分析：

（1）、启发引导学生类比探究线面平行的研究过程，按照“定义——判定定理——有关结论——性质定理”的研究程序，强化空间位置关系的常用研究策略——降维化归；

（2）、如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是由线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对学生来讲还比较困难.因此，在设计教学时，首先通过照片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将模型抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在观察演示过程中体会直线与平面垂直定义的合理性.总言之，创设情境，让学生形成关于线面垂直的直观感知，归纳定义；

（3）、用定义去判定直线与平面垂直往往是不方便的，如何在较短的时间内，让学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这对于学生来说又是一个难题.因此，在教学过程中，先通过小组成员合作探究，类比之前探究其他判定定理的过程和方法，大胆猜想，反复验证，得出可能的线面垂直的判定定理；再通过折纸试验，精心设置问题，并且引导学生通过动手操作、摆出模型，然后借助动画加深对定理的两个关键词“双垂直”和“相交”的理解和确认.

教学过程设计：

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