教学研讨｜2.3.2 平面与平面垂直的判定
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▍来源：网络
【教学内容分析】
本课时选自人民教育出版社，普通高中课程标准试验教科书必修 2 第二章第三节第 2 课时， 是空间垂直关系的重难点内容，也是高考的考查热点，是“转化”、“降维”思想的又一重要体现。前一节课已经学习了空间平行关系的判定和性质，以及线面垂直的判定、线面角。 平面与平面垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来度量二面角的大小是一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自然想到用“平面化”的思想，进而通过给出动手实验得到二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、结合实例，再用直二面角作为理论依据，很容易归纳出使面面垂直的必备条件，自然地就获得了面面垂直的判定定理。
【学情分析】
高中阶段的学生思维活跃，参与意识、语言表达和自主探究能力较强，故采用启发探究、讨论、实验多元结合的教学方法；通过一系列的问题及 2 个主要的探究活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、 从感性到理性的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。 在必修 2 中从前面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中， 学生已经掌握了了学习研究立体几何的一般方法——平面化，对线线、线面、面面间关系的转化也已经比较熟练， 但因本节内容的抽象性，对学生抽象概括能力、 空间想象能力的要求较高， 故采用多媒体辅助教学，在 PPT 课件中，融入视频、多个几何画板制作的动画，可大幅降低学生在空间想象上的难度， 因此学习本节知识不会有太大困难。
【教学目标设定】
根据本课教材的特点， 新课标对本节课的教学要求， 结合学生身心发展的合理需要， 确定了以下教学目标：
1.知识与技能： 理解二面角的概念与度量；掌握“平面与平面垂直的判定定理”；能应用判定定理证明一些简单的面面垂直问题．
2.过程与方法： 直观感知空间中二面角的平面角和面面垂直现象， 动手试验探究二面角的做法，经历平面与平面垂直的判定定理的形成过程； 感受空间与平面问题的类比和转化，提升知识迁移能力；亲历 “二面角的平面角”和“平面与平面垂直的判定定理”的探索过程，提高抽象概括能力，合作探究能力。
3.情感态度与价值观从生活实例中抽象出数学问题、总结数学定理，提升发现问题、解决问题的能力，感受数学应用和数学文化的魅力，激发数学学习兴趣，提高数学素养。【学情分析】
【教学重点、难点】
教学重点：
二面角的相关概念和平面与平面垂直的判定定理
教学难点：
平面与平面垂直的判定定理的形成过程．
【教学方法与手段】
教学方法： 启发式教学法、讨论教学法、直观演示法、 实验法、讲练结合法；
教学手段： 投影仪，多媒体音频视频、 PPT 课件，几何画板、学案等
【教学基本流程】
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1. 教学内容解析
本节指定课是人教版A版必修2立体几何初步第二章中“直线、平面垂直的判定与性质”单元的第2课时内容，也是《普通高中数学课程标准（2017年版）》主题三“几何与代数”中立体几何初步的“空间直线、平面的垂直”单元的一节内容（以下简称“线面垂直单元”），主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课．
空间中平面与平面的垂直关系是“线面垂直单元”中的又一个重点，是继教材直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系判定之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现．这一节的学习对理顺“线面垂直单元”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用．
平面与平面的垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来刻画二面角的大小是一个难点．根据“异面直线所成的角”和“直线与平面所成的角”的学习经验，借助“空间问题平面化”的思想，借鉴平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况的方法，按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义；通过类比直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义，引导学生探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，从中体会定义一个数学对象的基本思想．面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大量实例，通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直关系的判定”的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直”等典型猜想进行说理．本节课中，几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为
教学重点：两个平面互相垂直的定义，两个平面互相垂直的判定定理
2. 学生学情分析
本节课的授课对象为黄冈中学高二理科实验班8班的学生．经过前面的学习，学生有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，能较准确的使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系；已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及部分“垂直关系”的判定方法；已基本掌握解决空间问题的一般方法——平面化，具备学习本节课所需的知识．
然而，学生的能力发展正处于形象思维向抽象思维的转折阶段，但更注重形象思维，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，还没有上升到理论．学生还不知道应该如何定义和判定两个平面互相垂直，还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要适时的引导，关注学生的思维，关注学习过程．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为
教学难点：二面角的概念及度量
3. 教学目标设置
（1）通过实例，学生运用类比的思想，独立探索空间中两个平面互相垂直的定义方法，体会定义一个数学对象的基本思想；
（2）学生类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出平面与平面垂直关系的判定方法，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；
（3）学生通过直观感知、操作确认、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；
（4）学生通过对实际问题的分析和探究，能将现实空间问题抽象为数学问题，并通过研究性学习的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．
4. 教学策略分析
数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”．本节课设计七大教学环节，采用问题引导、合作探究和研究性学习的方式，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流．严格遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程展开知识内容．充分利用“观察”“思考”“探究”等，强调几何直觉，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置．此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透公理化思想．具体做法如下：
（1）教师课前给学生指明研究性学习的思路，学生自学本节内容；教师提出6个研究性学习问题，学生自由分组，每组侧重选择一个问题进行深入探讨．
（2）课堂中，学生分组展示探究成果，真正成为课堂的主人．探究问题驱动全体学生主动参与知识建构、合作探究，同时保证学生学习的规范性，实现高效课堂．
（3）学生从课前探究和课上展示中感知研究几何问题的基本思路，体会数学中的类比思想，领悟空间位置关系的常用研究策略——降维化归（空间问题平面化），螺旋上升地学习核心数学知识，重点提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养．
5．教学过程
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一、教学内容解析：
1.教材的地位与作用：
本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上， 介绍二面角、 二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、 直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养， 同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。
2.教学重点、难点：
重点：平面与平面垂直的判定定理及应用
难点：二面角大小的度量
二、教学目标设置：
1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。
2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。
3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。
4. 通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。
三、学生学情分析：
1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容.
2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性.
3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.
四、教学策略分析：
我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用 ”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.
为此我采用如下形式：
1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力.
2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念.
3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助.
五、教学基本流程(总体设计)
从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念
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构建二面角的的平面角
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直二面角
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平面与平面垂直
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平面与平面垂直的判定
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平面与平面垂直的应用
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课堂梳理
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布置作业
六、教学过程设计
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全
文
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