教学研讨｜4.2.2 圆与圆的位置关系(精品)

请关注阳光备课 2023-02-05

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教学研讨所选素材大多来自国家教育资源公共服务平台的部级优课，或全国青年数学教师优秀课的获奖作品，由阳光备课整理，仅供各位老师参考，版权归原作者所有。

▍来源：网络

研讨素材一

教学内容分析

1、《圆》的地位与作用

《课程标准》指出：在“解析几何初步”这个单元, “学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究几何性质，体会数形结合的思想”。

第四章《圆》是在学生学习了第三章《直线方程》之后，对“解析法”的思想的进一步学习。初中的教学中已经初步介绍了圆的基础知识，再次学习的时候，不仅要让学生能够使用“解析法“的工具，更要体会这种方法的优越性和必要性。

2、本节课的地位与作用

“圆与圆的位置关系”位于“解析几何初步”这个单元的末尾，应该起到三个作用：

（1）完善圆的知识体系；

（2）升华数形结合思想；

（3）为后续教学做准备。

教学目标设置

1.学生掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系

2.学生理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围，从而进一步感受“几何问题代数化”得以

实现的数学本质，也就是曲线与方程的关系。

其中教学的重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法的操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围

学生学情分析

此时的学生处于从初中到高中的转型期，常常感觉旧的学习方法不适于学习更加抽象的高中知识，所以，他们不仅需要透彻理解数学原理，而且，对学习方法也有渴求。

在本节课之前，学生已经学习了直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，初步了解了“坐标法”的特征。

教学策略分析

为了实现教学目标，我设计了“三层四段五问”教学模式。

1、准备阶段，包括预习、复习、目标展示等环节；

2、探究阶段。这是课堂的主体，解决是什么、怎么用、何时用的问题。

3、运用阶段，包括模仿练习、比较练习、巩固练习等。我将它们穿插在问题解决的过程中。

4、建构阶段，包括为什么学和怎样发展两个问题，使得新知识融入旧的知识体系，并促进知识体系的再生长。

“是什么、怎么用、何时用、为什么学和怎样发展”等五个问题，对应着数学知识学习的三个层次：数学工具品质、认知品质和研究品质。这样，可以使得不同水平的学生均能有所收获。

教学流程

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研讨素材二

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第二课时，《课程标准》指出：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法，根据学生初中学习圆与圆相交、相切、相离的定义的基础上，类比直线与圆判断位置关系的方法，将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．几何法，根据学生初中学习的圆与圆五种具体位置关系的判定，即利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．该方法，实现了空间形式与数量关系的结合．

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．

教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相交时公共弦问题．

二、教学目标设置

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际情况，教学目标确定为以下三个方面：

1．知识与技能目标

A级目标：（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．

A级目标：（2）若两圆相交，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

B级目标：（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．

注：A级目标：面向全体学生，重点针对基础较薄弱的学生．

B级目标：面向部分学生，重点针对能力较强，学有余力的学生．

2．过程与方法目标

（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．

（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观目标

通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和进取精神．

三、学生学情分析

1．学生程度

本节内容面对的是高一新生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽经历了必修一集合、函数相关知识的学习，但解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．

2．知识层面

（1）学生初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义和判定．

（2）掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式．

（3）上一节已经初步掌握直线与圆判断位置关系的两种方法．

3．能力层面

（1）掌握利用方程组的方法来求两圆的交点；

（2）具有用代数法研究点与圆、直线与圆的位置关系的基础；

（3）具有一定的数形结合解题思想的基础．

根据以上三个方面的分析，在已有的认知基础的条件下，经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．

因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．

教学难点：代数法解决几何问题的数学思想．

四、教学策略分析

1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

2．由于所教班级学生基础层次不同，所以在整节课的教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用．

3．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互相评价，总结解题经验．教师的重点放在了对解法的归纳以及代数法的思想是否得到落实上．

丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．

五、教学过程

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