​黄安成评文卫星课例：评析《诱导公式教学实录》

原文刊于《中学数学教学参考》2005.9

       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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评析《诱导公式教学实录》

江苏省睢宁高级中学   黄安成 （221200）

高中数学中的许多概念，如“角、距离、平行、垂直”等，都是由初中所探讨、研究的概念拓展推广而得的.在初中，“角”一般是指小于平角的角，此外只是提到“平角”和“周角”的概念.而到了高中，角的概念迅速得到了推广，同时将三角函数的概念从锐角的范围扩大到任意角的范围.但是在推广的同时，又不断地反璞归真，将任意角的函数转化回归到锐角的三角函数.《诱导公式》则是实现这种大转化的关键性的一节课.深刻认识这种“拓展推广”与“转化回归”的辩证关系是教师能否从整体上驾驭教材，从而设计并实施高效的教学，是至关重要的.综观文卫星老师的这一节课，简言之：既创新，又出彩，是充分体现崭新教学理念的一节比较好的课.

1   科学地设定了知识的结合点和增长点

这一节课的内容庞杂、公式繁多，要推导出六组，共24个公式，如果教者不能从整体上把握，没有能选准知识的结合点和增长点，杂乱的讲解，匆忙的推演将会将使学生感到一头雾水，只好下一节课再来炒“夹生饭”，为后继的教学带来了隐患.而在这里，教者深刻地理解了知识增长的“顺应”和“同化”的原理，不囿于教材，创造性地将新知识的结合点设定在“对称”这个基点上，利用学生在初中就已经熟悉的知识，顺利地推导出各个公式.尤其是公式(三)的推导过程更是匠心独运，利用两个角的终边关于直线y=x对称关系很好地突破了这个难点，简直是神来之笔.面对大容量和复杂的内容，教者显得从容潇洒和游刃有余，学生听来也感到顺畅自然、心领神会.这就叫扎实、深厚的教学功力，所以尽管“两岸猿声啼不住”，我却“轻舟已过万重山”.

2   遵循学生的认知规律

任何科学研究都是从认识特殊事物开始，然后再推向一般.数学在遵循这个一般认知规律的前提下，更有着本身的不同于其他科学的特点.数学决不满足于所获得的一般结论––––归纳、猜想、估计、合情推理所得的结果，在形成数学科学理论之前，必须经过严密的论证，这是数学科学理性精神的光辉所在.     

本节课，先研究一个简单的具体问题，自然而然地过度到对一般问题的探讨和论证，紧密而又和谐，学生不会有什么障碍和感到有多大的困难.这里给出sin20^o的值是字母a，而不是其他具体的数值，有着独特的作用和意义.因为我们在关心函数值的同时，更关心的是各个角三角函数值之间的关系.一个字母“a”链结了几个有关的三角函数，形象直观地昭示了它们间的关系，既得到了结果，又展现了过程.

3   将教学的触角迁延到知识、技能、技巧和思想的广阔空间

课堂教学容量的大小不能单纯地从推导公式与解决问题的多少来衡量，更要看这一节课有没有将教学的触角迁延到知识、技能、技巧、思维和思想的广阔空间.本节课的主要任务当然是诱导公式的推导和简单应用，但在完成这个核心任务的同时，又巧妙地联系到图形的各种对称、变量的代换、符号因子(－1)^k的运用、数形结合、等价转化、分类讨论等思想、思维的缜密性、创造性、深刻性等内容，课堂教学的广度、深度、厚度大大增加，使学生多方位、立体化、多层面地受益.更可贵的是，这种一举多得的做法是在不知不觉间融入了整节课的教学过程之中，看似随意却精心，平凡之中显精神.

4   发散与敛聚的和谐统一

思维有发散与敛聚两个方向，知识也有展开和浓缩两种方式，这是一种科学地学习方法.著名数学家华罗庚教授有一句名言：从薄到厚，再从厚到薄.这一节课较好地体现了这个重要原则.从一个简单的例题竟牵引出几十个公式，而经过整合，公式的量可大大地减少，最后甚至可概括为“奇变偶不变，符号看象限”十个字，既从本质上刻画了知识的内涵，又减轻了学生的记忆负担.

5   数学美和魅力的揭示

数学是极为优美和魅力无穷的，我们在教学中必须时时刻刻有机结合教学内容揭示这种美和魅力，用数学的这种神奇来激发学生学习的兴趣，并从中获得学习、钻研、探索的持久动力和锲而不舍、百折不挠的精神.这一节课，教者注意引导学生赏析数学的严谨美、统一美、结构美、简单美和奇异美，并用这些美唤起对数学的热情和钟爱，启迪深藏的智慧，挖掘潜在的能力.这些都是值得我们效法和借鉴的.

6   渗透对学生辩证唯物主义世界观和方法论的教育

有机结合教学内容，特别是高中数学的教学内容，对学生渗透辩证唯物主义世界观和方法论的教育，是中学数学教育极为重要一项任务，但目前中学数学教育界在这一方面却显得非常薄弱，毋庸讳言，这也是本节课的美中不足之处.

不少同仁认为在数学教学中对学生进行辩证唯物主义世界观和方法论的教育，怕学生“听不懂，领会不了”有关名词和理论，结果形同虚设，大有“作秀”之嫌疑.殊不知，只要结合得当，运用教学内容中大量鲜活生动的事例，加上教师深入浅出的讲解，辩证唯物主义的不少基本原理完全可以渗透进数学课堂和学生的心头脑际，甚至可引起学生认知能力和解决问题能力的质变.当然这项工作是系统工程，不是一朝一夕能完成的，教者必须不失时机地、经常性地注意此工程的实施和反复强化，天长日久，必有成效.

螺旋式上升、波浪式前进的普遍规律，可激起学生丰富的联想.除了前文提及的“角、距离、平行、垂直”以外，“数、式、分程、不等式、函数”等概念的发展、回归不也都淋漓尽致地反映了这个规律吗！

综上，这一节课具有鲜明的特色和独特的风格，而教学特色和风格的形成是教师成熟的标志.与戏曲演员的表演一样，教师的教学在遵循统一原理和理念的同时，也提倡不同的风格和流派.教学和表演都有这样一种说法：师承百家，旁涉千家，自成一家.愿我们的同行们在“采百家之长”的同时，树一家之说

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