邹生书——立体几何中存在性问题的向量解法
The following article is from 邹生书数学 Author 邹生书
湖北省阳新县高级中学 邹生书
立体几何中的存在性问题常见的有平行、垂直、距离和夹角这些常考不衰的重点内容,命题设置常以解答题的形式出现.近几年在高考中还出现了一些设置新颖的存在性探索性问题,这些问题多以客出题的形式出现,成为高考数学命题的一个新亮点.存在性问题特别是存在性探索题,具有新颖性、开放性、探索性和创造性等特点,有利于考查学生的探索能力、创新意识和综合素质,深受命题者的青睐.由于此类问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高,大多考生都不敢问津.若用向量方法处理,尤其是通过建立空间直角坐标系利用待定系数法求解存在性问题则思路简洁明了,解法程序化操作方便.下面我们通过典型例题解读向量法求解立体几何存在性问题的类型和方法.
一、几种常见的存在性问题
1.平行垂直有关的存在性问题
平行与垂直是立体几何的两种重要的位置关系,其中线线的平行与垂直是基础,线面平行和垂直是重点考查内容,应引起高度关注.
例1（武汉市2012届高中毕业生二月调研测试理科数学第19题）
例2（2020年12月28日开考的“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试题的第20题）
解：(1)取B1C1的中点O，连接OA1,OE.依题意知OA1,OE, B1C1两两垂直。
以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示。
夹角问题主要有线线角、线面角和面面角,其中线线角是基础,线面角和面面角是高考重点考查内容.
例3（2012年湖北省八市高三三月联考理科第18题）
一个四棱锥的三视图如图2所示.
（Ⅰ）求证PA⊥BD;
(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q,
使二面角Q-AC-D的平面
点拨：线线角、线面角和面面角是立体几何中与角有关的主要问题,利用向量法解决此类问题可以避开抽象、复杂的寻找角的过程,只要能够准确理解和熟练应用下列公式就可以使此类问题巧妙获解.
二、几道别致的存在性高考创新题
例5（2010高考全国卷Ⅱ理科第11题）
与正方体的三条棱所在直线
的距离相等的点( )
A．有且只有1个 B.有且只有2个
C．有且只有3个 D.有无数个
点拨 这是一道与三线等距的点的存在性创新探索题,本解法从特殊入手,通过直觉思维和合情推理,归纳猜想直线DB1上的任意一点到三条棱所在直线的距离相等,然后通过坐标法进行演绎推理验证猜想.
例6（2010年高考江西卷理科第10题）
点拨 这是一道与三线等角的直线的存在性创新考题,本解法通过建系设点,利用两直线的夹角与两直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值相等建立等量关系,把直线的条数问题转化为直线的不共线方向向量的种数问题而使问题得以解决.
例7（2008年辽宁理科第11题）
点拨 这是一道与三线都相交的直线的存在性创新考题,本题若用几何构造法则费时费力很难凑效,本解法采用坐标法巧妙设点,然后根据三点共线的向量关系列方程,将直线存在性问题转化为判断方程组的解的个数问题,从而使问题得以解决.
往期回顾
一、集合、充分条件与必要条件部分
5.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
二、函数与方程部分
14.邹生书——二次函数方程a[f(x)]^2+bf(x)+c=0实根问题的求解通法
16.做一题、归一类、得一法（五）——巧转化，分两边，凹凸反转看零点
17.做一题，归一类，得一法（九）——利用函数的对称性，巧解函数题
20.做一题、归一类、得一法（十五） ——高中数学要学好、同构思想不可少
21.做一题、归一类、得一法（十六）——奇偶与对称不分家、平移图像可互化
22.做一题、归一类、得一法（十七）——复合函数的零点问题的求解
23.做一题、归一类、得一法（十八）函数零点代数式的范围的求解
26.学习新教材、探究新习题(三）---几个有着几何背景的代数推理证明题
三、三角与向量问题
1.做一题做一题、归一类、得一法（六）—横、纵坐标正余弦、定位单位圆
2.做一题，归一类，得一法（一）——求向量的数量积时遇到外心用投影
3.做一题、归一类、得一法（四）——一个共点的三个向量的线性表示及变式、延伸
四、数列部分
1.做一题，归一类，得一法（八）上——求通项重转化，招数用尽需归纳
2.做一题，归一类，得一法（八）下——求通项重转化，招数用尽需归纳
五、不等式部分
5.做一题，归一类，得一法（十）——等和不等一字差、依据条件可转化
六、解析几何部分
1.做一题，归一类，得一法（二）——用几何法判断直线与椭圆、双曲线的位置关系
2.【读者来稿】再谈重庆市南开中学2019-2020学年高一下学期期末数学考试解析几何解答题
3.做一题，归一类，得一法（三）——一类直线过定点问题的统一求解方法
4.做一题、归一类、得一法（七）——圆锥曲线的一个二级结论在求角等方面的应用
5.做一题，归一类，得一法（十三）—与圆锥曲线的焦点弦有关的一组性质及应用
6.做一题、归一类、得一法（十四）——将军饮马小河边、椭圆光学总相伴
邹生书——圆锥曲线极点极线背景下高三百校联合测评选择题解法研讨
11.必要条件在解题中的应用——以2020年三个高考题压轴题为例
18.骆妃景 潘敬贞--聚焦核心素养，深度变式探究 ——一类解析几何面积最值问题的教学实录及反思
26.金磊——焦半径与焦点三角形性质 ---“圆锥曲线系统讲义”第一篇
28.高考试题中的一个热点问题1： 抛物线中的焦半径、焦点弦的考法
29.金磊——直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之（五）
32.考前晃一晃、喝前摇一摇——椭圆与双曲线中常见的几个对偶性质及推导
33.做一题，归一类，得一法（十九)——圆锥曲线焦半径公式的应用(培优）
七、立体几何部分
公众号“潘越高中数学”诚邀高中数学教师和热爱数学的朋友不吝赐稿！
来稿时请注意以下几点：
（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不予采用）。
（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本出现乱码）。
（3）文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，来稿文责自负。
（4）投稿邮箱：panyuezhez@foxmail.com。
（5）来稿作者请随稿附上“作者简介”，为让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。