浙江名师李昌官：数学证伪教学与数学教学的优化

  本文发表于核心期刊《课程·教材·教法》2019年第6期

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开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

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李昌官，浙江省台州市教育局教研室书记，台州市特级教师协会会长，博士、正高级教师、浙江省有突出贡献中青年专家、教育部“国培计划”专家、苏步青数学教育奖一等奖获得者、人民教育出版社中学数学教材编者，主要从事中学数学课程与教学研究．

数学证伪教学与数学教学的优化*

                                     李昌官*^*

（浙江省台州市教育局教研室  318000）

摘  要：证伪教学在提升学生核心素养方面有自己独特的功能与价值。在探讨数学证伪教学的含义、理据、功能与价值的基础上，提出了数学证伪教学应坚持证伪内容的全面性原则、证伪目标的指向性原则、证伪过程的逼近性原则和证伪思维的逻辑性原则，并善用构造反例、比较分析、逆向思考、追根溯源等策略，最后分别探讨了证伪视域下如何改进和优化数学概念教学、数学命题教学、数学思想方法教学和数学教学策略。

关键词：数学教学；证伪；证伪教学；证实教学；数学核心素养

当下数学教学重“证实”轻“证伪”，这不仅与数学发展史和可误主义数学观相冲突，也造成了学生学习观念的偏差与学习方式的残缺，不利于学生数学素养和核心素养的养成，应加强对数学证伪教学的研究，并以此推进数学教学的改进。

一、数学证伪教学的含义与理据

（一）数学证伪教学的含义

对与错、真与伪、优与劣是一对矛盾的统一体；没有错、伪、劣，也就没有对、真、优；对、真、优建立在去错、去伪、去劣的基础上。“证实教学”是指跳过或省略去错、去伪、去劣的活动和过程，直接呈现正确的数学概念并说明如何建构，直接指向正确的数学命题并加以证明，直接给出正确的、好的思路与方法来解决问题的教学。与此相对，“证伪教学”是指让学生认识到数学概念为什么不能这样，若这样会有什么缺陷或后果；或数学命题为什么不是这样，若这样会有什么错误；或解决问题的思路与方法为什么不是这样，若这样有什么不足或麻烦的教学。

（二）数学证伪教学的理据

1.数学在猜想与反驳中发展

波普尔（Karl R. Popper，1902－1994）认为：“知识不可能从无——从tabula rasa——开始，也不可能从观察开始。知识的进步主要是对先前知识的修改”^[1]36；“知识，特别是我们的科学知识，是通过未证明的（和不可证明的）预言，通过猜测，通过对我们问题的尝试性解决，通过猜想而进步的”^[1]序言；理论在经验上是决不可证实的，科学系统只能在否定的意义上借助经验检验的方法被挑选出来，经验的科学的系统必须有可能被经验反驳[2]¹⁷。拉卡托斯（ImreLakatos，1922－1974）认为：“非形式、准经验的数学的发展，并不靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初的猜想的持续不断的改进。”[3]^v数学发展史表明：数学在猜想与反驳中发展，在不断的证伪中发展。

2.证伪教学有自己独特的教育价值

数学的发展离不开证伪，决定了学生的数学学习也离不开证伪。证伪教学在学生的发展中有自己独特的教育价值。

第一，证伪教学有助于学生更全面更深刻地理解数学知识。学生在学习过程中有这样那样的误解是正常的，甚至是必然的，但误解并非无知，它是学生在一个新的情境下用貌似合理但非正确的方法解决问题，是一种尝试性的、看似有道理但是并不成功的知识迁移。误解有很高的教学价值，深挖学生潜在的观念和误解，在设计学习时对它们加以重视是获得更好学习效果的关键，也是学生走向“真懂”和“深度理解”的关键。[4]这里的“真懂”，是指不仅要懂书上的逻辑推理，更要懂在没有定律（或定理）之前，该怎样获得它；要经过咀嚼、消化，理解其中的中心环节、提炼出关键性问题。[5]这里的“深度理解”是指对知识的认识超越记忆、解释、运用水平，达到分析、评价、创造水平。

第二，证伪教学有助于学生形成正确的数学观与数学学习观。在大多数学生的印象中，数学是确定的、神秘的、毫无疑义的真理的集合体，数学知识只能用来接受而不能有任何异议和怀疑。这是数学教学长期重“证实”轻“证伪”的结果。而事实上，“我们的一切知识都只能通过纠正我们的错误而增长”^{[1]第二版序言}；“数学是可误、变化的，像其他知识一样，数学是人类创造的产物”[6]^IV。数学知识“不是一堆等待传递和接受的东西，而是有待于理解和重新思考的东西；不是识记和掌握的对象，而是思考和批判的对象；不是束缚教师和学生理性的绳索，而是发展教师和学生理性的资源”[7]。因此逻辑实证主义的教条不仅“对数学史与数学哲学都是有害的”^[3]iii，而且对学生的数学学习也非常有害。证伪教学能让学生认识到：数学是包括学生自己在内的人类创造的，是可误的，数学的发展不是一帆风顺的，而是曲折的，进而形成正确的数学观；数学学习不仅应学会解决已有的问题、学会证实，还应学会自己提出问题和猜想、学会反驳、学会证伪，进而形成正确的数学学习观。

第二，证伪教学有助于更好地培育学生的核心素养。单一的证实教学导致学生只能“跪着接受知识，而不是站着与知识和教师进行平等对话”，而这会异化师生关系，矮化学生的精神；会压缩知识的形成过程，导致学生只知知识是什么，而不知知识为什么是这样而不是那样，进而造成知识理解表面化；会压缩学生的思维空间，导致学生只会“证实”不会“证伪”，进而养成不良的思维习惯与思维方法；会形成错误的数学观与数学学习观，进而妨害学生批判质疑精神和民主意识的发展。正如喻平（1956－ ）所指出：由证实到求是的长期教化必然给学习者塑造一种不健全的认识信念，由证实到求是的单一训练模式会造成学习者的思维定势，由证实到求是的固有模式会消解科学思想与人文思想的相互关照[8]；证实教学只是部分地解决“是什么”和“为什么”两个问题，这种单一的教学方式，必然导致教学目标的偏失和某些教学功能的缺失，导致学生发现精神、怀疑精神慢慢消磨殆尽，最后形成一种真理至上、绝对主义的数学观。[9]对照“中国学生发展核心素养”[10]的内涵、属性与特点，不难发现：单一的证实教学不利于学生作为人的全面发展、主动发展和可持续发展，不利于学生核心素养的提高；证伪教学具有证实教学所没有的功能与价值，能在很大程度上弥补证实教学的不足，进而更好地促进学生核心素养的发展。

二、数学证伪教学的原则与策略

（一）数学证伪教学的主要原则

1.证伪内容的全面性原则

证伪内容的全面性原则是指证伪教学不是只适用于特定的教学内容，而是适用于所有教学内容。即无论是数学概念教学，还是数学定理法则教学、数学问题解决教学，都应让“证伪”占有适当的位置。只不过，不同教学内容的证伪方式与表现形式有所不同。数学概念的证伪教学通常表现为在提出各种假设的基础上，通过仔细分析、比较，发现假设存在的问题与不足，进而修正假设、完善假设，建构具有确定性、严谨性、和谐性与统一性的数学概念。数学定理法则的证伪教学一是表现为在提出猜想的基础上，通过举反例推翻猜想或修正猜想；二是猜想事情发生的原因，确认或推翻事情之间的因果关系，寻找知识内在的数学意义。数学问题解决的证伪教学通常表现为先猜测、提出解决问题的初步方案，然后通过尝试排除行不通的方案或存在较大缺陷的方案，进而采用较为合理甚至最佳的方案解决问题，并增进对数学的理解。

2.证伪目标的指向性原则

“启发式反驳的决定性作用是把问题变成更重要的问题，以便促进内容更丰富的理论框架的发展。”[11]^63-64证伪目标的指向性原则是指证伪指向证实，指向数学理解和数学意义的生成，指向学生核心素养的形成，进而使证伪应成为证实、数学意义生成、数学素养发展的阶梯与垫脚石。因此我们不是为证伪而证伪，也不是漫无边际地证伪，而是通过去“伪”来存“真”，走向“证实”和“求是”。更进一步，证伪教学的显性目标是通过证明某些概念、结论和方法是错误的、不好的，来建构正确的概念、发现正确的结论、形成更好的思路与方法；其隐性目标是更好地发展学生的数学核心素养。

3.证伪过程的逼近性原则

波普尔认为，科学的发展是通过猜测、证伪、再猜测、再证伪不断逼近真理的过程，是运用试错法的四段式循环过程: P₁→TT→EE→P₂……( P 是问题，TT 是尝试性的理论，EE是排除错误)；“对问题的任何认真的尝试性解决的反驳——始终是使我们接近真理的前进的一步。正是这样我们能够从我们的错误中学习。”^[1]序言数学教学“是一种由知识的不确定性到知识的确定性的渐进过程。”[12]在这个过程中，“教师应该使儿童走过他的祖先走过的路；要更快些，但不要越站”[13]⁹⁸。证伪过程的逼近性原则是指通过“证伪”逐步走向“证实”、逼近“证实”。这个原则有助于学生经历和感受真实的、曲折的数学再创造的过程、思想和方法，有助于数学活动过程更好地孕育、生成数学核心素养。

4.证伪思维的逻辑性原则

“试错法并不简单地等同于科学的、批判的方法——猜想与反驳的方法。不仅爱因斯坦用试错法，变形虫也用试错法，然而它是以比较教条的方式用。二者的差别与其说在于试探，不如说在于对错误采取批判的建设性的态度；科学家有意识地、审慎地试图发现错误，以搜寻论据驳倒其理论，包括诉诸他以自己的理论和才智设计的最严格的实验检验。”^[1]67证伪思维的逻辑性原则，一是指能有目的、有依据地提出猜想，即提出供后继学习证伪或证实的材料；二是证伪的思维和方法有一定的依据和缘由，是合乎逻辑的；三是指证伪“不以任何归纳推理为前提，而只是以正确性没有争议的演绎逻辑的重言式变形为前提”^[2]19，证伪的结论是逻辑的、确定无疑的。

（二）数学证伪教学的常用策略

1.构造反例

美国数学家盖尔鲍姆（Bernard R. Gelbaum）在其名著《分析中的反例》中指出：“冒着过于简单化的风险，我们可以说（撇开定义、陈述及艰苦的工作不谈）数学是由两大类——证明和反例组成，而数学的发现也是朝着这两个主要目标——提出证明和构造反例。”波普尔也指出：“一种严格的经验检验总是要力图找到一种反驳、一个反例。”^[1]307“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。”如，推翻猜想“随着试验次数的增大，频率越来越接近概率”，只要举反例：投掷硬币2次，正面向上与向下各1次，投掷第3次却造成了频率偏离概率即可。如果学生觉得这样试验次数太少，那不妨举反例：投掷10000次时，硬币正面向上共5002次，且投掷第10001次、第10002次时硬币也都正面向上。需要注意的是，不仅数学命题教学应善于构造反例，数学概念教学也一样。如，对集合概念，许多学生不理解为什么要规定集合的元素具有确定性。这时，教师可指出：如果“高个子的人”可以作为一个集合，那么这个集合的“边界”是不清晰的，所得的相关结论只能是模糊的、大致的，其后续运算就无法进行。

2.比较分析

有比较，才有鉴别。“在数学中，一个概念的形成，往往经过分析、比较、试误、选择、抽取适当的特征性质，最后才结晶出来的。如果没有这个探索过程就给出定义，则易沦为‘填鸭式的背记’，采撷花朵而得不到花的美丽。”[14]²¹⁶如，倾斜角概念教学，直接告知学生结果，虽然能节约时间，但会丢失发展学生思维的载体。历史上，人们曾经分别用“直线与x轴所成的角”“将x轴正方向沿逆时针方向转过的角”“直线与x轴正方向的夹角”“直线与x轴所成的4个角中，从x轴正方向出发，且位于x轴上方的那个角”定义倾斜角

3.逆向思考

正面思考常常受经验和习惯的支配而不能全面地、正确地分析问题，或难以发现事物存在的缺陷与不足，逆向思考往往会有新的发现。因此对一些正面思考一时难以解决或难以发现不足的事情，不妨逆向思考。数学上逆向思考最典型、最成功的例子也许是非欧几何的创立。在长期反复尝试都无法证实或证伪欧氏几何第五公设（同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交）的情况下，俄国数学家罗巴切夫斯基（Никола́й Ива́нович Лобаче́вский，1792－1856）用一个与第五公设相矛盾的命题代替它，竟然得到一系列逻辑上毫无矛盾的结论。数学教学也可大量引入逆向思考、借助逆向思考解决问题。如，面对为什么要定义零向量、零角、空集、0！、等问题，除了寻找这些概念的现实“原型”外，还应让学生思考讨论：如果没有这些概念，那么会有怎样的不足，造成怎样的麻烦。又如，对指数函数y=a^x，许多学生不理解为什么要规定a≠1。这时，不妨进行逆向思考。如果a可以为1，那么讨论和运用指数函数性质就需要分0<a<1，a=1，a>1三种情况，而这会增添不必要的麻烦。

4.追根究源

歌德（JohannWolfgang von Goethe，1749－1832）曾精辟地指出：“真理与错误同源，这虽奇怪但却是真实的。所以在任何情况下，我们都应不粗暴地对待错误，因为这样做的时候，就等于我们也在粗暴地对待真理。”^[14]143我们只有善待错误，才能从错误中学习。就数学教学而言，应搞清楚学生头脑中有哪些错误，这些错误是怎样的“环境与土壤”中产生的，产生的深层次原因又是什么。只有这要，才能彻底消除诱发错误的根源，进而有效地纠正错误。如，诱发“随着试验次数的增大，频率越来越接近概率”的“土壤”是学生在生活和试验中经常遇到这样的现象，有这样的经验；深层次的原因是以前遇到的数学问题都是确定性问题，他们已经习惯于用确定性思维思考问题，用确定性语言表达结论，是他们对试验结果的随机性、所得结论的风险性认识不足。又如，诱发“整数的个数比偶数的个数多”的“环境与土壤”是人们通常只考虑有限集合的情形，而对有限集合而言，“整体大于局部”是正确的；深层次原因是没有理解两个集合元素个数相等的本质它们之间能够建立一一对应关系。因此数学证伪教学不能停留在低层次的结论证伪上，而还应追根溯源，铲除产生“伪”的根源与土壤。

三、证伪视域下数学教学的优化

当下数学教学存在“无‘伪’可证、有‘伪’不证、证‘伪’不实”现象[16]，应在证伪视域下基于发展核心素养的需要改进和优化数学教学。

（一）证伪视域下数学概念教学的优化

1.去除学生已有的前概念中的“伪”

任何知识的学习总是基于头脑中已有的相关知识与经验。在正式学习一个数学概念之前，学生头脑中通常都已经有一个关于这个概念的“前概念”或“潜概念”。如，学习圆概念之前，学生已有关于圆的潜概念和直观形象，但往往误认为圆内的点也是圆的一部分。又如，高中学习“随机事件”概念前，学生对随机事件已经有一定的认识，但往往误认为可能发生也可能不发生的事件就是随机事件，而对数学意义上随机事件的前提——在特定相同的条件下可以重复试验——缺少认识。因此教师应了解学生头脑中已有的前概念或潜概念，充分发挥它们对数学学习的正迁移作用，同时避免和防止负迁移；应让学生意识到：我们仅仅用感官和想象描述它们，自以为了解它们，其实知道的只有粗糙的图像，而没有形成推理赖以进行的精确概念^[13]94-95。数学教学应明晰数学概念与现实原型的不同点，避免学生把数学概念与生活概念、数学问题与生活问题混淆在一起；应把基于直觉和经验的、模糊的、直观的、不精确的、不完善的前概念或潜概念转化为基于逻辑的、清晰的、精确的、完善的数学概念，并使它们成为数学思维和数学推理的出发点。

2.去除知识构建过程中可能出现的“伪”

彭加勒（Henri Poincaré，1854－1912）曾指出：“什么是好定义呢？对哲学家或科学家来说，它是适用于且仅仅适用于所定义的对象的定义；它是满足逻辑规则的定义。但是，在教学中，情况并非如此；好定义是能被学生理解的定义。”^[13]90“定义的陈述的每一部分，其目的在于把被定义的事物与其他邻近对象的类区别开来。只有当你不仅指出了被定义的对象，而且也指出了可以适当地与之区别的邻近对象时，只有当你把握了差异并明确地附加道：这就是在陈述定义时我为什么这样说而不那样说时，定义才算是被理解了。”^[13]102为了教给学生“好定义”，为了深化学生对定义的理解，教学应注意以下五方面：一是让学生理解概念产生的背景与目标指向；二是让学生经历概念建立的过程，理解建立过程中所用的思维方法与数学思想方法；三是要去“伪”，理解概念为什么是这样而不是那样，是这样有什么优点，是那样有什么缺点或不足；四是要清楚此概念与相关概念的联系与区别，明晰概念的“边界”、“真”与“伪”的“边界”；五是把握概念的本质，清楚此概念独特的功能与价值。如，高中函数概念教学。首先，应让学生明确初中函数概念中存在的“伪”——初中函数定义的局限性，在此基础上，明确新定义的目标指向是消除这些“伪”。其次，应明确新定义的建构方法是联想（这里指联想集合语言的特点与优势）、归纳、抽象、建模。第三，针对学生在知识建构中可能出现的错误进行有效“证伪”，明晰“不是非空数集的集合”“集合B存在多个元素与之对应”等“伪”之所在。第四，应揭示函数的本质是两个量之间的相互依存关系，函数本质与其表示形式y=f(x)的关系。[17]

3.在演绎推理的基础上建立数学概念

史宁中（1950－  ）曾指出：“原始分类是思考定义的基础，归纳推理是构建定义的基础，演绎推理是确认定义的基础。”[1^8]数学概念是逻辑推理的基础和出发点；反之，只有建立在演绎推理基础上的数学概念才能成为演绎推理的基础和出发点。因此数学概念教学应分析它与相邻或相近数学概念间的联系与区别，明晰数学概念的“边界”，并用数学概念建立的内在法则——数学概念应具有一义性、精确性和一定条件下的普适性以及逻辑上的可演绎性[1^9]，检验初步建构的概念，进而使数学概念建立在严格的演绎推理的基础上。

（二）证伪视域下数学命题教学的优化

1.大胆猜想

数学命题往往源于观察、归纳与猜想。苏联著名物理学家福克（V.A.Fock，1898－1974）曾指出：“伟大的，以及不仅是伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测得来的；换句话说，大都是凭创造性的直觉得来的。”[^20]“先猜，后证——这是大多数的发现之道。”[^21]如，通过观察5＝1²+2²，25＝3²+4²，125＝2²+11²，625＝7²+24²，65＝5×13＝1²+8²＝4²+7²，1105＝5×13×17＝4²+33²＝9²+32²＝12²+31²＝23²+24²等，猜想：如果方程x²+y²=nⁱ(i=1,2)有互素的正奇偶数解,那么这种解恰有2^k－1个,其中k为正整数n不同素因数的个数。[2^2]求解问题“一个圆周上有n个点，连接其中任意两点构成一条线段，求圆面被这些线段分割成区域个数最多时的区域数”时，在尝试得到＝1，＝2，＝4，＝8，＝16的基础上猜想＝2^n-1。

2.证明或反驳猜想

3.寻找证明背后的数学意义

这里的数学意义是指数学事件产生的原因及其事件之间的联系。证明是由一个结论推出另一个结论的思维过程。证明不仅仅是肯定、证实一个人的直觉，更是要弄明白事件发生的原因，以及事件之间的联系。“证明是数学地寻找意义的一种方式”[^{24]丛书序言}；“应该把证明看作一种‘涉及精细的和批判性的推理过程的、严密的和无例外的’以及‘通过精细推理得出定义和可靠结论的’数学活动。”^[24]13证明教学不能仅仅停留在理解“演绎推理是否正确”的水平上，还应搞清楚“它们为什么以这种秩序而不以另外的秩序联系起来”^[13]91，搞清楚证明的思路是怎样想到的，这种思路与方法能否推广到更一般的情形，因为证明的主要教育价值在于“把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络”[2^5]5。如，对上述圆面区域个数问题，不难发现：证明的思路是从数列项与项之间的递推关系入手找到的，这种思路与方法可以推广到解决数列其他问题。进一步分析

（三）证伪视域下数学思想方法教学的优化

数学教学是数学思维活动的教学，而数学思维的核心在于选择、运用“好的”的数学思想方法。

1.在尝试、比较、分析中证伪和选择

“任何发明过程都包括两个方面，其一是进行思想的组合；其二是选择和识别那些我们所期待的组合，那些能够给我们传递重要信息的组合。”“发明就是选择！”[26]选择的前提是对有关事项进行证伪或证实，而证伪或证实需要通过联想、尝试、比较、分析来完成。数学思想方法之“伪”有两种：一种是不行，即尝试后表明“此法不行，此路不通”，必须另找其他思路与方法；另一种是不好，即通过比较分析后发现还有更好的方法。这里“好”的标准：一是用该思想方法解决问题比较简单、容易；二是该思想方法具有一般性，能用于解决更大范围内的问题。鉴于数学思想方法的选用具有较强的经验性和实践性，学生认知的发展具有渐进性，应让学生在亲身实践中感受不同数学思想方法的正误、优劣与适用范围，而不是直接把“最好”的方法硬塞给学生。以推导椭圆标准方程时如何建立直角坐标系为例。可让学生先猜测怎样建立比较好，然后分别尝试如下两种方法。方法一：以经过两焦点的直线为x轴，以其中一个焦点为原点建立直角坐标系。方法二：以经过两焦点的直线为x轴，两焦点连线的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

2.明晰“真”与“伪”的原因

探究大致可分为盲目尝试与理性探究两大类。盲目尝试，苍蝇、小白鼠都会；理性探究、有意识地试验，需要以知识、经验和能力为基础。思维的功能之一是搞清楚“一种事物在多大程度上可以被看作另一事物的根据”[2^7]。只有当学生能清楚地认识到优劣、繁简、真伪背后的原因，他们对事物或问题的认识才会从感性上升到理性，从经验上升为“理论”，以后遇到类似的问题时才会自觉地、主动地选择“好”的思路与方法。如，上述推导椭圆标准方程时如何建立直角坐标系问题，在比较方法一与方法二所得结果的优劣与繁简的基础上，应明晰造成这种优劣、繁简的原因在于如果曲线关于x轴、y轴对称，那么相应的方程将不含有y、x的一次项，所得方程会变得简约明了。对于有些难以区分“真”与“伪”、“好”与“差”的数学思想方法，应引导学生搞清楚它们的特点与适用范围。如，比较坐标法和向量法推导点到直线的距离公式，不难发现：坐标法思路自然、简单，但运算量较大；向量法对思维与技能要求都较高，但运算量较小。

3.强化“好的”数学思想方法的运用

思维的另一功能是通过预测未来达到避害趋利的目的，因此数学教学应尽可能让学生学会合乎逻辑地探究，而不是低层次的、成功率低危险性高的“摸着石头过河”；应“尊重策略使用的局限性和朴素性，关注错误策略的消除”，“把握策略发展的渐进性和竞争性，着力优势策略的培养”[2^8]；应指导学生学会在不同的问题情境中采用不同的策略、思路与方法，强化“好的”数学思想方法的运用。如，解决立体几何问题时，能明智地选择用向量坐标法或综合法。解决三角函数问题，能自觉主动地从三角函数的定义出发，借助单位圆和三角函数线，运用数形结合、分类讨论、分解转化等数学思想方法。

（四）证伪视域下数学教学策略的优化

数学证伪教学要求学生能够大胆猜想，小心求证，积极寻求研究对象的数学意义。证伪视域下的数学教学宜采取以下四大策略。

1.鼓励学生大胆提出问题和猜想

数学知识是学生探究与建构的对象，而不是接受的对象。“为全体学生的中小学数学，其核心应放在人类数学问题的提出和解决上”；“探究应占据中小学数学课程的中心位置”。^[6]335鉴于“科学和知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题、愈来愈能启发新问题的问题”^[1]285，并且问题意识和提出问题的能力是创新精神与创新能力的基石，因此数学教学应提供数学问题产生的背景与载体，鼓励、指导、帮助学生提出值得研究并且能够研究的问题。鉴于数学的发展总是先归纳、猜想，后演绎、证明，因此数学教学“应当让猜测、合情推理占有适当的位置”^[23]v，应借助直觉提供更多的证伪材料，而不是阻止推测^[11]60，应指导学生不断提高猜想的质量与价值。

2.强化证伪过程，明晰证伪方法

“自古以来数学教科书或教学只讲述成功的探索结果，几乎不谈失败的案例，这使得数学教育违背‘人性常犯错误’以及‘从错误中学习’的原则。”^[14]143数学教学中的演绎主义风格十分有害，因为它“以一种人为专横的方式把证明产生的定义从其‘证明原型（proof-ancestors）’那里给扯开了，好像它们是突然出现的。这就遮蔽了导致这些概念被发现的反例”^[3]156-157。因此指向人的全面发展与可持续发展的数学教学应强化证伪过程，因为“从一个有意义且错误的地方切入，然后逐步找出正确的结果，再现知识的演化特性，这样才合乎人性，在教育上更富有启发意义”^[14]143；“应采纳过程和探究为核心的教学法”^[6]335，因为“它强调了问题情形：即它强调了产生新概念的‘逻辑’”^[3]157。在有意识地培养学生的证伪意识和批判质疑精神的同时，也应加强证伪思路与方法的指导，切实提高学生的证伪能力。

3.坚持证伪教学与证实教学相辅相成

数学是拟经验的；良好而健全的逻辑是数学存在与发展的基础。“大胆的推测、假设的扩散、严格的检验和反驳”^[11]48是数学家所遵循的基本原则。证伪是非常必要的，是学生深化数学理解、提升数学能力、发展数学素养的有效手段，但它应指向证实、服务于证实。因此加强证伪教学并不意味着否定和反对证实教学。相反，数学教学应坚持以证实为主、证伪为辅；应坚持证实教学与证伪教学的相互结合、相互渗透、相互促进；应坚持通过“去伪”来“存真”，使学生由使用不规范的策略、得到不规范的知识逐步走向使用规范的策略、得到规范的知识，“形成规范化思考问题的品质”^[25]7。因为“如果只有证实性的教学，就会使学生形成片面的知识观和学习观”[2^9]；如果只有证伪教学，那么将走向虚无主义，而这与数学知识的确定性、与教育的终极目标是增强学生追求真善美的意识与能力是相违背的。更进一步，“在教学方面，无论是新知识的引入还是利用知识去解决问题，都应当提倡根据不同知识的类型适时采用‘证实—求是’‘证伪—求不是’‘证伪—证实—求是’等多种模式”，因为“证实性知识与证伪性知识相结合，是实现知识迁移和知识创新的必然选择”^[12]。

4.坚持能力培养与品性孕育相辅相成

证伪是一种方法，更是一种思想、一种习惯、一种品性。“你不应当过于相信任何一个未被证明的猜想，即使它由一个大权威提出，甚至即使是你自己提出来的。你应该去证明它或推翻它；总之你应当去检验它。”^[23]4归纳的态度的目的在于使我们的信念尽可能有效地适应于经验。它要求把事实摆在一定优先的地位，要求随时准备把观察结果提高为一般性的原则，并随时准备根据具体观察的结果对最高的一般性结果进行修正。^[23]6能力与品性对人的发展来说犹如车之两轮、鸟之两翼。数学教学应既有意识地提升学生的证伪能力，又有意识地发展学生的证伪精神；应认识到强化证伪教学之根本目的在于“学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识”^[25]8。

四、结束语

数学证伪教学是一个有待开发和研究的领域，无意识的、零碎的、不规范的证伪教学应走向有意识的、系统的、规范的证伪教学，并在证伪教学的视域下积极改进、优化数学教学，使之更好地促进学生数学核心素养的养成。

参考文献

[1] 卡尔•波普尔．猜想与反驳——科学知识的增长[M]．傅季重，纪树立，周昌忠，等，  译．杭州：中国美术学院出版社，2003．

[2] 卡尔·波普尔．科学发现的逻辑[M]．查汝强，邱仁宗，万木春，译．杭州：中国美术学院出版社，2008．

[3]拉卡托斯．证明与反驳——数学发现的逻辑[M]．方刚，兰钊，译．上海：复旦大学出版社，2007．

[4] 格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格．追求理解的教学设计（第二版）[M]．闫寒冰，宁雪莲，赖平，译．上海：华东师范大学出版社，2017：54-55.

[5] 华罗庚．聪明在于勤奋，天才在于积累[M]．北京：中国少年儿童出版社，2006：30.

[6] Paul Ernest．数学教育哲学[M]．齐建华，张松枝，译．上海：上海教育出版社，1998．

[7] 石中英．教育哲学导论[M]．北京：北京师范大学出版社，2002：210．

[8] 喻平．教学的应然追求：求是与去伪的融合[J]．教育学报，2012，8（4）：28-33.

[9] 喻平，董林伟，魏玉华．数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通[J]．数学教育学报，2015，24（1）：26-28.

[10] 核心素养研究课题组．中国学生发展核心素养[J]．中国教育学刊，2016（10）：1-3.

[11] 拉卡托斯．数学、科学和认识论[M]．林夏水，薛迪群，范建年，译．北京：商务印书馆，2010．

[12] 喻平．发展学生学科核心素养的教学目标与策略[J]．课程·教材·教法，2017（1）：48-53.

[13] 昂利·彭加勒．科学与方法[M]．李醒民，译．北京：商务印书馆，2010．

[14] 蔡聪明．数学的发现趣谈[M]．台北：三民书局，2015．

[15] 汪晓勤．HPM：数学史与数学教育[M]．北京：科学出版社，2017：117-118.

[16] 费岭峰．忽视“证伪”教学的原因及对策[J]．课程·教材·教法，2013（12）：55-59.

[17] 李昌官．高中函数概念教学[J]．中学数学教学参考（上旬），2017（10）：13-16.

[18] 史宁中．数学思想概论（第4辑）——数学中的归纳推理[M]．长春：东北师范大学出版社，2015：97.

[19] 徐利治．徐利治谈数学哲学[M]．大连：大连理工大学出版社，2008：144.

[20] 王梓坤．科学发现纵横谈[M]．上海：上海人民出版社，1982：122.

[21] 波利亚．数学的发现[M]．刘景麟，曹之江，邹清莲，译．北京：科学出版社，2006：300．

[22] 李昌官．寻找数学内在的力量（修订版）[M]．宁波：宁波出版社，2016：226-229.

[23] 波利亚．数学与猜想：数学中的归纳与类比[M]．李心灿，王日爽，李志尧，译．北京：科学出版社，2001．

[24] 德斯皮娜·A.斯蒂利亚努，玛利亚·L.布兰顿，埃里克·J.克努特．证明的教学：从幼儿园到大学的视角[M]．周超，鲍建生，译．上海：上海教育出版社，2015.

[25] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018.

[26] 阿达玛．数学领域中的发明心理学[M]．陈植荫，肖奚安，译．大连：大连理工大学出版社，2016：20.

[27] 杜威．我们怎样思维·经验与教育[M]．姜文闵，译．北京：人民教育出版社，2005：17.

[28] 何声清．叠波模型视角下学生概率比较策略发展的再审视[J]．数学通报，2018（8）：7-12.

[29] 喻平．教学认识信念研究[M]．北京：科学出版社，2016：273.

Mathematics Falsification Teaching and Optimization of Mathematics Teaching

LiChang-guan

（TeachingResearch Section of Taizhou Education Bureau, Zhejiang Taizhou 318000, China)

Abstract: The Falsification Teaching has its unique merits inimproving the core abilities of students. The implication, reasoning,functionality, and value of the Falsification Teaching is first discussed. Itis proposed that the Falsification Teaching should keep the falsificationcontent systematic, falsification goal oriented, falsification processprogressive, and falsification mindset logic. We should also adopt strategieslike counter-examples, comparative analysis, reverse thinking, and origintracing. At last, how to improve and optimize, under falsification vision,mathematical concept teaching, mathematical proposition teaching,mathematic mindset teaching, and teaching strategy of mathematics education isdiscussed, respectively.

Keywords:Mathematics Education, Falsification, Falsification Teaching, Proof Teaching,Core Abilities of Mathematics

Author: LiChangguan, Secretary of Teaching Research Section of Taizhou Education Bureau,Chairman of Taizhou Special-grade Teacher Association, Ph.D. of education,Professor-grade teacher, Nation-grade training program specialist of Ministryof Education