冯刚：提升基本活动经验 发展数学核心素养

                         原文发表于《上海中学数学》2020.10

       开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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冯刚，中学高级教师，工作于江苏省奔牛高级中学，常州市学科带头人，常州市优秀班主任，第三批常州市名教师工作室优秀成员，武进区优秀教育工作者，曾获江苏省青年教师基本功大赛二等奖。参与省规划院课题，在省级刊物发表论文十余篇，2篇入选国家级核心期刊。

提升基本活动经验  发展数学核心素养

——以“函数奇偶性”为例

213131 江苏省奔牛高级中学 冯刚 张瑞

摘要：新课程理念提出的培养学生“四基”、“四能”、“数学核心素养”的教学目标，同时为教师指明了发展学科核心素养的具体实施意见，教学设计应当关注学生已有的基本活动经验。学生在教师设置的一个个有联系的数学活动中“感知数学”“感悟数学”，同时学会数学地思考问题，数学基本活动经验也在不断的积累，积淀，数学核心素养的发展将是水到渠成的事。

关键词：基本活动经验；数学核心素养；教学设计

《普通高中数学课程标准（2017年）》（以下简称《课标（2017年版）》）指出：数学学科核心素养是“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的继承和发展.“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生数学学科核心素养的有效载体.教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升^[1].

数学核心素养形成的前提是数学基本活动经验的不断积累^[2].事实上，《课标（2017年版）》所提出的数学活动经验是学生获得进一步学习以及未来发展的数学基本活动经验.因此教师在教学设计中首先应关注的是学生已有的数学基本活动经验，主要包括学生在学习数学的过程中所积淀的数学思维经验和数学解题经验等.教学设计应在学生已有的数学学习经验的基础上创设问题情境，帮助学生进一步积累基本活动经验，培养学生的“四基”、“四能”（提出和发现问题、分析和解决问题），发展学生的数学核心素养.

学生核心素养的发展如何在一线课堂上落地生根？笔者从如何调动学生已有的数学基本活动经验和进一步积累数学基本活动经验中做了一些研究，现以函数的性质“函数的奇偶性”的教学设计为例.

一、学生已有的基本活动经验

1.对称图形

在初中课本中，学生已经学习了轴对称图形和中心对称图形的概念，并能结合生活和学习中的具体的对称图形用自然语言对对称图形加以描述性的说明和感知.比如轴对称图形是将图形沿某条直线折叠后，图形在直线两侧的部分能完全重合的图形；中心对称图形是把一个图形绕着某一点旋转，能够与原图形完全重合的图形.另外，初中学习的二次函数、一次函数的图像都可以看成是轴对称图形，一次函数和反比例函数的图像可以看出是中心对称图形.因此，学生已经能够定性的分析对称图形，积累了一定的研究对称图形的基本活动经验.

2.量词“任意”

量词“任意”的理解是学生学习函数奇偶性的一大难点，在函数的概念和函数单调性的概念的学习中，学生已经初步感受到了量词“任意”的抽象性、概括性和准确性等作用，实际上，“任意”是将特殊化的问题抽象为一般化问题的积淀，这种积淀的过程也是学生数学抽象素养的发展过程.在初中学习阶段，学生也有过类似的经历，但并没有把这个词拿出来仔细研究而已，比如“两直线平行，内错角相等”可以改为“对任意的两条平行的直线，内错角都相等”等.

2.数学概念的“符号化”过程

函数单调性在初中学习一次函数、二次函数、反比例函数时已经有过初步的感知，这种感知是主要停留在图形语言的直观感知和文字语言的简单描述上，高中阶段是将初中学习的函数的图像自左向右呈上升或下降的变化趋势抽象为严谨的符号化的过程.函数的奇偶性概念的学习也将经历类似的过程.

二、教学片段

1.情境引入部分

教师：（开门见山）同学们，我们知道整数有奇数和偶数，最近我们在学习函数，实际上函数也有奇函数和偶函数，到底什么样的函数是奇函数或者偶函数呢？今天我们一起来探究.

【设计说明】这里不采用几何定义这种有争议的方案，而是借助熟知的奇数和偶数直接抛出课题，避免需半节课给出定义后才给课题的尴尬.事实上，奇函数偶函数名称的来源确实与奇数偶数有关，据资料可查，1727年欧拉提出的“奇函数”、“偶函数”是针对幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数，在学习了幂函数之后，可以给学生补充相关课外阅读知识，丰富学生的数学文化知识，提升学习数学的乐趣.

问题1：（感悟生活）先给同学们欣赏一组漂亮的图片，你能感受到它们有什么共同特征吗？

问题4：满足什么特征的图像我们称之为“中心对称图形”？

【设计说明】问题1至4的设计是基于学生已有的数学知识经验设计的，符合学生的认知特点.具体表现在：

（1）所选的两组美丽的图片分别是轴对称图形和中心对称图形，学生在日常生活中已经积累了类似的美的经验，贴近学生的生活实际，能够激发学生的学习兴趣；

（2）从具体的对称图形到对称图形的概念是一次抽象的过程，但对称性是初中学生所学知识，是学生已经积累的定性分析对称性的数学基本活动经验，学生具备的这一经验是接下来将对称性符号化的必备数学基本经验.

2.概念建构部分

教师：（回归数学）我们回到数学上呢，最近我们正在学习函数，我们知道有些函数的图像也具有对称性，你能举些例子吗？

教师：这说明有些函数我们能轻松画出其示意图，并初步判断其是否具有对称性，有些函数不易画出其图象，就很难判断其是否具有对称性，我们该怎么办呢？

生：对于一些复杂的陌生的函数是否具有对称性还是要从代数的角度进行研究.（教师引导补充）

【设计说明】学生能快速想到从代数的角度研究复杂函数的对称性是基于“函数单调性”的符号化过程中积累的基本活动经验的.一般来说，“代数符号刻画对称性”这一核心问题的教学方法有三种：一是直接从简单函数的图象问学生为什么对称，还可以引导用几何上折叠或旋转来解释，但很难转到代数角度；二是从前一节课学的单调性入手，提出函数性质的一般研究方法，是从数学研究高度引入，类比学习，但笔者认为这种教学方法会出现罗增儒教授所说的“公交车理论”问题，而且单调性的代数研究方法对初学者来说相当抽象难懂，仅这一次的代数研究的经验，学生其实还是不大理解的，奇偶性的代数刻画相对来说更简单，所以这种教学方法是不符合学生当前的认知规律的；三是本文提出的是一个开放性的问题，易入手，关键是把这个问题抛给学生后，逐步引导学生举出越来越复杂的函数例子，让他们陷入自己举出的函数不能用图象法研究对称性的困境，此时老师再给这样一根从代数角度研究的“绳子”，学生充分感受到从代数角度研究性质的价值，从而有了解决它的强烈愿望.

【设计说明】（1）由具体实例作为铺垫，学生明确了这两个函数要研究其对称性，而且是从代数角度来研究.问题6提出了本节课的核心问题，也就是教学的难点，要小心细腻地处理.（2）本节课核心中核心当然是概念中的“任意”，高中数学中大量反复出现，如函数的性质、数列的递推公式、圆锥曲线的定义、平面向量基本定理等等，每次都很难说明，一来全称命题概念未学，二来不可能举出所有例子，所以只能采用感知的方式，因此教学中就只能让学生尽量多感知.

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