对一道二次根式线性和取值范围问题
的解法再探讨
浙江省平阳中学 洪一平
3月3日在“高中数学解题交流二群”有群友提出了上面问题, 很快有老师利用阿氏圆得到S的最小值为2.5, 但被最大值难住了, 本人在此数形结合, 希望利用椭圆的定义和几何性质以求得S的最大值, 但过程中会出现4次的高阶方程, 借助几何画板对此方程作了一点定量探索, 提出一个检
验算法, 明确问题的困难所在, 得出明确的结论, 最终确认能找出精确的最大值的表达式是中大奖的概率, 说明瞎编类似的问题有时是可能找不到精确的答案的, 此题应只求最小值为佳. 过程中若通过编程实现验证更高效.
为了求得最大值, 为此作出以A, B为焦点的长轴长为2a的椭圆并与圆C内切于点N(m, n), 此时S=4a=2(|NA|+|NB)取得最大值. 此举关键在于求出点N的坐标. 由于内切, 圆与椭圆有相同的公切线, 由圆的性质知NC是公切线的垂线, 由椭圆的几何性质可知射线NC是ÐANB的角平分线.
利用几何画板可知该四次方程只有异号的两实根n1=-0.428, n2=0.2134.按照多项式相关的知识可知f(n)可分解为两个二次多项式的乘积, 如果这两个二次多项式是整系数的话, 问题就好办了, 为此, 尝试如下的待定系数法,
但经过遍历所有的情况, 这个判断条件都不成立, 由此断定这两个二次多项式的系数不可能都是整数的, 这说明方程获得解决的概率是中大奖的概率. 至此, S的最大值可用N(1.25848, -0.428)代入得近似值为5.258, 这个近似值也可利用下面的三角函数来求得.
此处若想利用待定系数的柯西不等式两次, 将会产生待定系数的六次方程, 仍然不好解决.经常可以看到一些类似的问题, 由于问题中给出的数据不是很友好, 那么由问题产生的绕不过去的高级方程将是不可逾越的障碍。
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