文卫星：解析几何引言课教学实录

本文发表于核心期刊《数学通报》2016.6（34-39）整整6页

请点击上方蓝字“文卫星数学生态课堂”，订阅本公众号；  

    请点击右上角“...”,发送给朋友或分享到朋友圈

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

   欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱：      [e-mail]

解析几何引言教学实录^[1]

----兼谈磨课

                                  上海市七宝中学  文卫星  

【教学目标】

1. 介绍解析几何的产生、发展简史及其的主要内容；

2．理解坐标法的意义，了解曲线与方程是一个问题的两个方面，可以互相表示；

3．解析几何是创新的产物----思想创新：用不同的方法解决同一类问题；方法创新：坐标法使得用代数方法研究几何问题成为可能.

【教学重点】

   简要介绍解析几何的孕育、产生和发展，揭示其基本思想：坐标法以及用方程表示曲线.

【教学难点】

   曲线与方程的关系.

【教学过程】

1.   解析几何的产生

师：今后一段时间，我们要学习一门新的数学分支----解析几何.先请大家欣赏一组图片（用ppt播放，并作简要解释）.

---

[1]本文根据在上海市莘庄中学的一堂公开课整理而成，是上海市教委重点项目“数学教学中微型育人” （沪教委德〔2013〕28号）的阶段性成果.

 图1是人们喜爱的螺，它的外形是螺线，是圆锥曲线的研究对象之一.图2是向日葵，向日葵籽的排列形成螺线形，使我想起小时候听到的一首歌，词只记得前两句，把它改成：

葵花朵朵向太阳/人民群众心向党/祖国山河美如画/景色都在螺线上

图3是电厂的冷却塔，外形是双曲线；图4是国家大剧院，外形是椭球状.

师：再请大家看一组动画（为节省篇幅，此处略去实物图，只给出教材中的图，见图5），请大家观察平面截圆锥截口的形状，如果你们知道就请回答.从左到右，从上到下依次是----圆、椭圆、双曲线和抛物线.

上述事例表明，在生产、生活和科学研究中，都会涉及到一些曲线，这是我们今后一段时间要学习的内容，人们称之为圆锥曲线.用代数方法研究这些曲线的性质是17世纪数学的重要的内容，它产生原因有二：

首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，欧洲工业革命需要各种机械设备，要求描绘各种零部件的曲线，甚至要求计算某些部件的表面积和体积，这些问题都难以在常量数学的范围内解决．实践（当然还有研究天体运动、抛体运动、造船、透视镜等）要求人们研究变动的量．圆锥曲线便是在这样的社会背景下产生的．

其次，圆锥曲线的产生也是数学发展的大势所趋.此前源于古希腊的欧几里得《几何原本》建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究．但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法．而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科．但在笛卡尔之前，几何是几何，代数是代数，它们各自为政，互不相扰.传统的几何过分依赖图形和形式演绎，而代数又过分受法则和公式的限制而缺乏活力，这一切都制约了数学的发展.

数学史上著名的三大几何作图（化圆为方、三等分任意角、倍立方）都没有解决，能不能找到一种方法架起代数和几何的桥梁困扰着当时的数学家.

师：故事说明机会青睐于有准备的人！事实上，是笛卡儿艰苦探索、潜心思考、运用科学方法，同时批判继承前人成就的结果.这种精神尤其值得同学们学习.

解析几何一度称为坐标几何或代数几何，因为在此之前数学的主流是几何，代数只是其附庸.“解析”原指这样的过程：从所要证明的结论开始，往回去做，直到达到一些已知的东西为止.“解析”在这个意义下与“综合”相反.对笛卡儿来说，用“解析”一词来描写把代数应用到几何上还是很恰当的，因为他是用代数来分析几何作图问题.在18世纪著名的《百科全书》，把“代数”和“解析”当作同义词.“解析”一词逐渐地专指代数，而新的坐标几何，大约到18世纪末，在形式上几何被描写成代数在几何上的应用.到18世纪末，“解析几何”已经成为标准的名词^[2].

不过，笛卡儿时代只有现在的第一象限，因为当时欧洲数学家对数的认识还够科学，认为只有零才是最小的量，比零还小的量是不可思议的，而没有看到正负之间的辩证关系.而我国在总结秦汉时期数学成就的《九章算术》中就使用正负数和无理数解决实际问题，但他们没有像古希腊人那样对理论的执着追求，看来东西方各有所长.我们要善于学习全人类的优秀文化.

笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究.直到1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明.1882年林得曼（Linderman）也证明了的超越性，化圆为方的不可能性也得以确立.

至此，前人用两千多年的时间彻底解决了尺规作图问题，其间前赴后继、备尝艰辛，这种不屈不饶的精神是全人类的财富.在这一过程中，不仅产生解析几何，还产生其他数学分支，极大地推动数学的发展，也极大地推动科学技术的发展.正是：

前人研究两千年，今日学习三十天.

数形结合威力大，历史难题化云烟.

2．解析几何的基础----坐标法

2.1平面坐标系

师：解析几何运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.是人类历史上首次出现的变量数学，它改变了数学的面貌，推动了整个数学的发展．从数学思想上来说，最大的突破是引入了变量思想，它成为发明微积分的思想基础．正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了．”

4．解析几何研究主要对象------圆锥曲线

师：以上我们知道曲线和方程可以互相表示，以下我们来看方程

师：它们表示的曲线有：椭圆、圆、抛物线、双曲线、直线.以后我们将会知道，上述曲线（不含直线）方程都是x、y的方程，且最高次数为二次，因此，圆、椭圆、双曲线、抛物线也称为二次曲线.由此我们看到：

方程虽简能量大，各种曲线集一家.

量变质变有规律，圆锥曲线研究它.

对这些曲线，早在古希腊时期的阿波罗尼奥斯在研究“倍立方”问题时，就对此进行详细的研究，并发现它们可以用一个平面截圆锥曲线而得，这是上课开始演示的图形，因此，这些二次曲线也称为圆锥曲线.

此外，我们还要研究其它一些曲线，如螺线、玫瑰线（几何画板演示，此处略，当玫瑰线中的参数a取不同值时，曲线的变化多姿多彩，美轮美奂，被这些美丽图案征服的同学发出由衷的赞叹）等曲线，这些曲线是在另一种坐标系――极坐标系中研究的.这些亮丽的图形、“妩媚”的曲线将伴随我们学习的全过程，学习圆锥曲线就是以美为伴.

直线、圆锥曲线及其它一些特殊曲线的性质、应用等是圆锥曲线的主要内容.

需要提醒同学们，解析几何的运算量有时较大，既是对运算能力的考验，也是培养我们顽强意志、刻苦精神的好机会，但若选择恰当的方法，则计算量会小许多，这有利于培养我们追求卓越、追求完美的品质.在此，送同学们一副对联：

上联：蜜蜂采蜜不怕千辛万苦

下联：学子求学何惧解个方程

横批：征解

注：“征解”的意思：一是向学生征横批，二是暗示在学习征途中不断求解新问题.

5．练习（限于篇幅，略）

6．小结

1.解析几何是用代数方法研究几何问题的学科.坐标系是基础，是方程和曲线的纽带.

2．两千多年来，人类对尺规作图问题的不懈追求，终于在以笛卡儿、费尔马等数学家的努力下，诞生了解析几何.由此我们想到，为了解决一个难题，要有坚韧不拔的意志.当一种方法困难时，应该尝试新的方法，这或许是“退一步海阔天空”的道理.做事做人都一样.

随着圆锥曲线的诞生，历史掀开了新的一页——近代数学的序幕拉开了；

随着圆锥曲线的学习，我们站到了新的高度——莘庄中学的学子出征了！

7．体会

        磨课----三次解析几何引言课教学体会

7.1 为何要上引言课

一言以蔽之：了解过去，展望未来，激发兴趣；一斑窥豹，充满期待，再创辉煌.

7.2  怎样上引言课

引言课的目的是向学生介绍即将学习的一章或一门学科的简史、本章或该门学科将要学习的主要内容和思想方法.因此，引言课要尽可能挖掘即将学习这一章或一门学科中既具有典型性、趣味性、艺术性等人文价值，又能体现主要内容和思想方法的元素，以调动学生的兴趣，激发学生对新课的向往.要通过简单的例子说明深刻的道理.

以下以《解析几何引言课教学实录》为例，谈谈笔者十年三次上《解析几何引言课》的做法，或许对同行能有所启示.由于三次都是同一内容，每次都有一些调整，故称“磨课”.

7.2.1 一磨教学内容取舍

  2004年12月3日解析几何引言课内容简介（应华东师大职培中心之邀作公开展示）.

（1）引入――圆锥曲线研究的对象

用几何画板演示满足以下条件的轨迹（直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，为节省篇幅图略）：

一个动点到两个定点距离相等、不等，一个动点到两个定点距离之和（差）为定值，一个动点到一个定点和到一条定直线（定点不在定直线上）的距离之比为常数，求动点的轨迹.             

在此基础上介绍解析几何发展的两千年发展史，圆锥曲线名称的由来，还简单介绍极坐标研究的螺线、玫瑰线（用几何画板演示）.

（2）揭示解几的本质――曲线和方程

（4）圆锥曲线的简单应用

    简要介绍椭圆、抛物线的光学性质在生活中的应用，以及双曲线在军事上的应用.说明“落后就要挨打”“还我山河”还需要同学们发奋努力！以此作为本课结束前对学生的鼓励^[3].

2004年12月的这节课由于学生基础较好，师生配合默契.授课内容数学味偏重，选题较难，且量也较大.虽然也涉及圆锥曲线发展史，但总体文化氛围不足.

    2013年10月的授课对象是上海市莘庄中学的学生（闵行区重点中学），与2004年12月那节课的变化主要在理念上和内容的取舍.这次对解析几何的产生以及坐标法着墨较多，尽管直角坐标系学生早已知道，但坐标法的思想在解题中的应用学生未必重视，作为解析几何的基础还是在此强调（虽然这里不涉及解题），意在使学生对解析几何的历史有系统的了解.在介绍曲线和方程时选题比较2004年12月那节课容易，这符合学生的实际情况，在介绍圆锥曲线研究对象时，则安排一个含参数的方程，通过几何画板演示得到各种形状的圆锥曲线（含渐近线），当学生看到一个不起眼方程可以表示如此众多的而漂亮的曲线时感到很意外.我想学生的兴趣已经被激发了.

   2013年5月那节课的授课对象是我校新疆部内高班（新疆户籍的学生在内地度高中）的学生，学生基础较差.与2013年10月这节课的区别有两处：一是上课前布置学生上网查找圆锥曲线产生、发展的资料，上课时请学生代表发言.开始展示的图片只展示两个机械零件.二是介绍解析几何研究对象时，演示平面截圆锥所得各种曲线，主要是考虑其直观形象，既能调动学生的积极性又能说明观点.其他与2013年10月这节课相同.

   以上三个版本跨越10年，涉及三个不同层次的学生，虽然教学目标没变，但内容却发生较大的变化，只是适应学生是不变的.

7.2.2 二磨教学方法改进

 2004年10月版的教学方法以问题导入为主，对学生能解决的问题放手让学生自己解答，如果遇有所求轨迹不在学生认知范围，则用几何画板演示，由于是自己所教班级，师生配合较好，虽然量大，但也还是顺利完成既定目标.

 2013年5月版事先让学生上网查找圆锥曲线的产生和发展史，然后自己归纳、提炼总结成一篇短文，上课开始由学生推荐的代表介绍圆锥曲线的产生和发展史，学生很乐意，也有成就感.对坐标法及解析几何的研究对象部分主要是讲授，而曲线和方程中的相关问题，放手让学生解答，尤其部分同学还能写出半圆的参数方程.

 2013年版由于是借班上课，无法事先布置学生做什么，所以活动都只能在课堂进行。这次尝试用诗歌的形式给每一段作总结，或概括本段内容，或揭示思想方法，对学生鼓励有嘉，让学生以乐观的态度，对未来的新课学习充满期待与向往，并做好克服困难的思想准备.

7.2.3 三磨教学品位提高

数学课堂教学不仅是数学内容的教学，还有传承数学文化，担负教书育人的任务.教学品位的提高要在传承数学文化和育人方面下功夫.在2013年版的引言中注重数学文化的融入，从解析几何产生、发展，圆锥曲线和二次曲线名称的由来，象限名称的由来以及带有数学味的诗歌等都是数学文化的体现.

数学育人虽是数学课的灵魂，但不是数学课的重点.“数学的灵魂”依附于“数学的逻辑思维和理性精神”之上，要让其“显灵”，需要老师在一定的哲学思想指导下的精妙点拨，适当的“借题发挥”才能在获得数学知识、形成数学能力的基础上，感受到数学文化的魅力，觉得数学课确实有“味道”，教学品位由此得以提高.

  总之，磨课首先要在深入了解学生的基础上，根据教学要求确定符合学生实际水平的教学目标，在此目标的指导下，反复筛选能反映教学目标的典型例题、习题，其次，要考虑教学手段和教学方法的不断改进，以提高教学效益，第三，就是要把育人融入教学，使课堂教学不仅有数学知识，还要有思想（有时可提升到哲学层面）、有文化^[4].

参考文献

[1]易南轩，王芝平.数学星空中的璀璨群星[M].科学出版社，2009，5：230-231

[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想第二册[M].上海科技出版社，2012，11：25

[3]文卫星.中学数学教学方法研究 [M].上海社科院出版社，2006，3：164-173

[4]文卫星.文卫星数学课赏析[M].华东师大出版社，2012,6:前言4

有为的青年教师何睦：高中数学章节起始内容的价值及其实现