矩形综合运用（1）——[尖子生之路2019版]

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矩形综合运用（1）

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【例1】如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，求线段CH的长．

【图文解析】

在Rt△CHM中，CH＝…＝√41．

【例2】如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，求BM的长．

【图文解析】

在Rt△ABM中，由勾股定理，得

1²+（2x）²＝（3x）²，

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【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．

（1）当△CEB′为直角三角形时，BE的长为　　　　；

（2）当CB′∥AE时，BE的长为　　　　．

【图文解析】

（1）情况一：如下图示．

法一：利用勾股定理，得x²+2²＝（4﹣x）²，解得x＝3/2．

法二：利用面积公式，得S_△ABE+S_△ACE＝S_△ABC，得0.5×3x+0.5×5x＝0.5×3×4，…

法三：（适合九年级）利用相似或三角函数，由sin∠ACB＝x/(4-x)=3/5，…

情况二：如下图示，显然BE＝AB＝3

综上所述，BE的长为3/2或3

（2）如下图，当CB′∥AE时，根据对折（轴对称）的性质，不难证明E是BC的中点，所以BE＝2．

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【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．

【图文解析】

将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．

由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小．

由tan∠ACB＝AB/BC＝√3/3，得∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4√3，又∠BCE＝60°，得∠ACE＝90°，在Rt△ACB’中，由勾股定理，得AE＝……＝2√21．

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