2020年福建三明九下质检第25题（倒一压轴—二次函数，几何计算说理，定点定线）试题解析

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【三明二检】如图，抛物线yx²mx（m<0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．

（1）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；（2）直线ykxb（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．①若∠OBA90°，2<CE/AB<3，求k的取值范围；②求证：DE∥y轴．

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如果你在阅读本文，烦请在文章右下角点亮“在看”！对你来说，花不了多少时间，却能给作者带去信心和鼓励.你的一个“在看”就会让你的朋友知道你在阅读这篇文章，也许他（她）们也因你的“在看”而阅读本文，给本文带来人气，给作者持续向前的动力！【图文解析】（1）如下图示：易得OA＝x_A=－m，BH＝m²/4.
得S_△AOB=1/2×(-m)×m²/4＝-m³/8.

（2）支题干解析：

如下图示：将点B的坐标代入直线BD（y=kx+b），得
-m²/4=k×(-m/2)+b.得b=km/2－m²/4.得点C的坐标为(0，km/2－m²/4)进一步，得：直线BD可改写为：y=kx+ km/2－m²/4=k(x+m/2)-m²/4.又抛物线y=x²+mx=(x+m/2)²-m²/4.联立直线BD和抛物线的解析式，得(x+m/2)²-m²/4＝k(x+m/2)-m²/4.整理，得(x+m/2)²－k(x+m/2)＝0.因式分解，得(x+m/2) (x+m/2－k)＝0.解得x₁=－m/2，x₂=－m/2+k.得x_D=－m/2+k.进一步，得y_D=k²-m²/4.另一方面，由点A和点B的坐标，可得tan∠OAB=tan∠AOB＝|y_B|/|x_B|=(m²/4)/(-m/2)= -m/2.因CE∥AB，所以∠OEC＝∠OAB.在Rt△OCE中，OC＝|b|= m²/4－km/2，得OE＝OC/tan∠OEC＝OC/tan∠OAB＝(m²/4－km/2)/ (-m/2)= -m/2+k.即x_E=-m/2+k.【问题再现】①若∠OBA＝90°，2<CE/AB<3，求k的取值范围；②求证：DE∥y轴．

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【图文解析】
①当∠OBA90°，2<CE/AB<3时，如下图示：易得∠AOB＝45°，进一步，得OH＝BH，所以-m/2=m²/4（m<0），解得m=-2.(或由“支题干解析”得tan∠AOB＝-m/2=1……)
如下图示，此时B（1，-1），得BH＝OH＝1，易证△ABH∽△ECO，得CE/AB＝OC/BH＝-b.又2<CE/AB<3，得2<-b <3.由直线BD（y=kx+b）经过点B(1，-1)，得k+b=－1，得-b=k+1.
所以2< k+1 <3.解得1<k<2.(或从“题干解析”得：b=km/2－m²/4＝-k-1……)（2）法一：由“题干解析”得：x_D=－m/2+k，x_E= -m/2+k.所以DE∥y轴.如下图示：法二：（试卷中的标答）
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