HPM视角下的平面解析几何引言课

Original 钟萍文卫星数学生态课堂 2022-07-17

本文原载于《数学教学》2019.8（42-46）

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HPM视角下的平面解析几何引言课

上海交通大学附属中学嘉定分校

钟萍

摘要：平面解析几何的发展历史，为高中平面解析几何的章节引言课的设计与课堂实施，提供了重要参考。通过历史上几何的发展历史，在教学中重构式地通过问题链的方式展开探讨与研究；顺应式地呈现帕普斯“三线轨迹”问题的研究历程；复制式地将笛卡尔、费马研究的问题融入课堂，增加了数学课堂的文化气息. 课后反馈表明，这样的教学激发了学生的学习动机和兴趣，初步理解了平面解析几何用代数的方法研究几何问题的思想本质，促进了学生明确学习平面解析几何知识的价值与意义.

关键词：HPM 平面解析几何发生教学法教学设计反思

解析几何是数学发展史上的一个重要里程碑，它突破了古希腊人在空间形式上依据公理进行定性研究的思维模式，着力于对空间位置及其形式的精确量化表达. 在学习本章具体知识点前，引导学生了解该知识的产生和发展史、价值和意义，提升学生对解析几何整体性的认识，是章节引言课的功能所在. 而怎样在一节课的时间内让学生了解解析几何的主要内容和数学思想方法、领略数学文化之魅，培养数学学习之趣，是章节引言课的关键所在.

基于此，本文从学的层面对沪教版高级中学课本第11、12章进行“学习化”分析，从HPM的视角对历史素材进行“重构式”加工，以数学核心素养的培养为支点进行“合理化”设计，试图撬动学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的培养.

1 教学设计依据

1.1 教材与学情分析

知识内容方面，平面几何中学生已经学习了直线和圆，能联系直线和一次函数的图像，掌握了到定点的距离是正常数的动点轨迹是圆. 在日常生活或天文学的相关知识里获知了椭圆的几何形状；了解了反比例函数的图像为双曲线；二次函数的图像和初中物理学中的抛物运动等有助于学生从视觉上认知抛物线.

数学思想方面，中学数学课程中也早有渗透和体现. 初一学习的数轴实现了数与轴上点的对应，初二能借助坐标系来表示平面上点的位置，实现了有序数对和点的对应. 初中的正比例、反比例函数，一次、二次函数到高中的基本初等函数，揭示了函数解析式与函数图像的内在联系，且将函数直观化为图像来研究. 函数的图像与方程的曲线在数与形的对应表达实质上是一样的，这与解析几何的曲线方程与方程的曲线的概念已经非常接近. 此外，在学习平面向量过程中，学生已经对坐标法的应用有了初步的理解和体会. 这些都为学习解析几何的知识内容和思想方法奠定了基础.

基于以上分析，以及本次授课对象已有的认知基础，我们确定本节课的教学目标为：

（1）了解解析几何的研究对象和方法；（2）通过轨迹问题的探究体会坐标法的应用及其创新价值；（3）了解解析几何的发展史，欣赏美丽的曲线，感受数学背后的人文精神. 教学重点为用代数方法研究几何问题的思想方法, 教学难点为几何推理和代数运算的灵活转换.

1.2 解析几何的发展史与运用

以亚里斯塔欧、欧几里得和阿波罗尼斯为代表的古希腊几何学家研究了大量的轨迹问题，公元3世纪末，几何学家帕普斯（Pappus）将其分为三类：平面轨迹（直线和圆）、立体轨迹（圆锥曲线）和线轨迹. 《几何学》中，严格意义上的解析几何思想出现在接下来的对帕普斯轨迹问题的讨论中. 帕普斯指出“三线轨迹”为：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离乘积与到第三条直线距离的平方之比等于已知常数，则该点的轨迹为圆锥曲线. “四线轨迹”亦对圆锥曲线的概念有类似的界定. 仅有几何工具的古希腊人面对这些或更复杂情境下的轨迹问题便显得一筹莫展了. 历经了漫长的岁月，直到17世纪，法国的笛卡尔(ReneDescartes,1596--1650)和费马（Pierrede Fermat, 1601-1665）以研究古希腊轨迹问题为目的，打破了古希腊数学家们的局限，通过建立坐标系，将几何曲线和二元代数方程对应起来，成功创造了研究几何的新方法——坐标法, 于是解析几何诞生了，而解析几何的进一步发展和完善也离不开后继数学家们辛勤的研究. 毫无疑问，解析几何是数学家们的又一伟大创举，为数学思想的发展开辟了新天地.

结合解析几何的发展历程，我们运用发生教学法的教学原理，采用多元的方式融入数学史. 首先，重构式地融入古希腊人研究轨迹问题的历程与困境，引入课题，变式设计契合学生“最近发展区”的问题进行探讨和研究，从而体会解析几何的研究方法，介绍解析几何研究的对象. 其次，顺应式地融入帕普斯“三线”轨迹问题展开讨论. 再次，课堂中引用了古希腊数学家及其研究成果的图文、数学家笛卡尔和费马的故事，属于附加式.

本课中数学史的运用方式如下表1：

表1 解析几何引言课数学史融入方式

2 教学设计与实施

2.1 课堂引入

师：初中阶段我们学过一些平面几何的轨迹问题，同学们能否找到满足下列条件的动点轨迹？

问题1：在平面内，（1）到两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？

（2）到两条定直线的距离之比为1的点的轨迹是什么？

生1：（1）是两定点连线段的中垂线.

生2：（2）要根据两条定直线的位置关系来讨论，当两条定直线平行时，就是平行于这两条定直线且居中的一条直线；当两条直线相交时，则轨迹是这两条相交直线交角的两条角平分线.

师：（1）是我们非常熟悉的线段垂直平分线， (2)根据两直线位置关系分类讨论很到位，这两个问题我们都能用尺规画图将满足条件的点的轨迹找出来. 请进一步思考：

问题2 ：到两条距离为2的平行直线的距离之积为1的点的轨迹是什么？

（学生开始想办法用尺规作图，之后都面露困惑.）

师：这样的困境古人早有经历，古希腊的欧几里得和阿波罗尼斯等优秀的几何学者（PPT史料呈现），研究过许多满足不同条件的动点的轨迹.但随着问题的愈渐复杂，发现仅凭尺规作图以及公理化推理，困难重重，甚至黔驴技穷. 我们能不能试试别的办法呢？初中我们学习了直角坐标系，前不久我们刚学习了向量的坐标表示和运算，能否给我们一些启发呢？请同学们思考并讨论交流一下.

生3：直接尺规作图很困难，我们可以把两平行直线中的一条放在轴上，另外一条平行于轴，设所求点的坐标为(x,y)，可得满足关系式|y(y-2)|=2.

师：这个想法很好！坐标法研究是很好的尝试和解题方向.这种思维突破历经了漫长的岁月，直到17世纪，法国伟大的数学家笛卡尔和费马以解决古希腊人留下的轨迹问题为出发点，通过建立坐标系找到了普适性的方法——坐标法，自此伟大的平面解析几何诞生了！这正是我们从今天开始要深入学习的内容.

点评：教学中引导学生从熟悉的轨迹问题出发，在思而不得的困顿中，借助历史素材，让学生了解几何学发展史的同时感受学习解析几何的价值和意义，体会坐标法这一解题方向，引出课题.

2.2 问题探究

师：实际上，坐标法我们并不陌生，早在小学我们就知道了数轴上的点与数一一对应，初中又学习了平面直角坐标系中点与有序数对一一对应，还研究了函数的解析式与其图像的对应，近到我们刚学习的平面向量的坐标及其运算. 只不过从现在开始我们要结合代数的运算和几何的直观两个方面，更系统地研究平面内的点满足的几何条件与其坐标满足的关系式之间的关系.

师：我们在哪里学习过用点的坐标刻画或者建立关系式？我们可否尝试通过建立坐标系，用点的坐标满足的关系式来刻画动点的轨迹？我们以问题3为载体，来寻求解决问题的方法.

师：同学们体验了列出动点坐标满足的关系式，又通过关系式初步感受其轨迹. 类比点与坐标的对应关系，从特殊到一般，我们不禁会问：一条曲线是否能与其满足的方程有某种对应关系呢？可以说，费马和笛卡尔几乎在同一时间段内分别研究了两个基本问题：根据条件，求出动点的坐标所满足的关系式即曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质. 这正是解析几何的重要研究内容——曲线与方程.

点评：学生通过问题变式探讨，进一步领会坐标法的精髓，体验用点的坐标满足的关系式刻画点的轨迹的过程，促进学生思考动点坐标满足的关系式和其轨迹之间的关系，明确了学习解析几何的两大任务，锻炼了数学运算和直观想象的核心素养.

师：我们继续将变式2更一般化，又该怎样展开研究呢？

问题4：在平面内，到两条定直线的距离之积与到第三条直线的距离的平方之比为定值的点的轨迹.

师：这正是曾困扰古希腊几何学家多年的有名的帕普斯三线轨迹问题，一直到17世纪笛卡儿和费马引入坐标系后才得以真正解决. 我们今天尝试了用坐标法研究轨迹问题的方法，接下去我们还要继续学习直线方程、点到直线的距离、曲线和方程等知识，就可以尝试解决这个历史难题了. 不仅如此，我们还可以对问题进一步延伸：

三线轨迹问题”，体会解析几何中用简约的符号——坐标与方程来表达几何关系的思想内涵，思考静态的曲线与动态的点的轨迹之间的关系，并介绍本章节的研究内容和对象. 锻炼了学生数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理等素养.

2.3 课堂小结

师：请同学们说说这堂课学到了哪些知识和方法？感到印象最深刻的是什么？

生9：我们打破了仅用几何推理方法研究几何问题的传统方法，找到了研究此类问题的另一个方向——坐标法.

生10：了解了平面解析几何诞生的曲折经历，学习了用坐标法来研究轨迹问题.

生11：通过轨迹问题的探讨，了解了还可以用点的坐标满足的关系式刻画直线和圆，又认识了新的圆锥曲线，椭圆、双曲线和抛物线.

师：坐标法研究几何问题是人类又一个伟大的创举！任何思想上的创新与突破都要付出巨大的努力，笛卡尔和费马等数学家用坐标法来研究几何问题，正是解析几何的精髓所在。后阶段我们将以直线和圆锥曲线等知识内容为纬线，以动点轨迹和位置关系等问题为经线展开学习，并将函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等多元数学思想方法横贯其中（思维导图6所示），开启平面解析几何的神奇之旅。

3 教学反思

本节课，学生因历史疑难问题激起学习的动机，经历了由浅入深、由易到难地用坐标法研究和刻画动点轨迹的过程，明确了学习平面解析几何的价值和意义，体会了平面解析几何的数学思想方法，了解了整个章节的知识内容和基本要求。课堂上学生积极参与、主动探究，呈现了一堂别开生面的章节引言课。

事实证明，上好章节引言课绝非易事，而融入数学史重构式地上好引言课则是极大的挑战。教师仅凭对数学史的热情还远远不够，一要精读数学发展史，选择适切的数学史料；二要精研发生教学法，实现润物无声、自然无痕地教学效果；三要精通数学史的运用方式，采用多元的融入方法；四要精耕课堂，细作教学，秉承初心，即“立足生活、培养思维、启迪智慧、熏陶文化的精神”，传授有文化的数学，打造有情趣的课堂，培养出有无限生命力和创造力的学生。