矩形综合运用（2）——[尖子生之路2019版]

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矩形综合运用（2）

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【例1】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G连接DG．已知CD＝8，CF＝4，求GE的长．

【图文解析】

如下图示．

可证得四边形DEFG为菱形．

在Rt△CEF中，由勾股定理，可求得x=3．进一步，可用列方法求得GE＝2√5．

再利用勾股定理或根据“菱形面积＝对角线的积的一半”，求得GE的长．

【例2】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，求AP的长．

【图文解析】

如下图示．

在Rt△BCG中，由勾股定理，得6²+(8-x)²＝(x+2)²，解得x＝4.8．即AP＝4.8．

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【例3】如图，矩形ABCD内一点P，PC⊥PD，若PA＝a，PB＝b，AB＝c，且a、b、c满足a²﹣b²＝c²/2，求PD：PC的值．

【图文解析】

由勾股定理，得PD²－PC²＝（PE²+DE²）－（PE²+DE²）＝DE²－CE²＝AF²－BF²．又PA²－PB²＝…＝AF²－BF²．所以PD²－PC²＝PA²－PB²＝a²﹣b²＝c²/2……①．

在Rt△PCD中，PD²+PC²＝CD²＝c²……②．

由①+②，得2PD²＝3c²/2，得PD²＝3c²/4．

由②－①，得2PC²＝c²/2，得PC²＝c²/4．

所以PD²/PC²＝…＝3．

因此PD/PC＝√3（负值舍去）．

【例4】如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，且∠CED＝67.5°，把△CDE沿CE所在的直线对折，得到△CHE，EH的延长线恰好经过点B，连接AH并延长，交CD于点F．

（1）若AB＝1，求AD的长；

（2）求证：EH＝FC．

【图文解析】

（1）如下图示，AD＝BC＝√2．

（2）如图示．

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