纷纭复杂的平面图形（圆、线段、角）——2019年中考数学素养导向的试题观察9——2019年哈尔滨中考第26题​

    编者按：

中考数学试题是检测学生学力，承载选拔功能，体现教学导向的有力凭据，也是实施教学的良好素材。作为一线数学教师的我们，应该深入研究各地的中考题，试题多解，优解挖掘，本源探究，也对试题的价值导向，教学建议等问题进行深入思考。
作为教师并不能满足于研究广州本地的中考题，若有时间希望能适当每天做一做各地的中考试题，同时也阅读已发表的杂志文章，希望能给同学们和老师们带来一点借鉴。

  之前已经写了8篇：（点击可以打开）探寻解题过程，体会素养渗透——2019年中考数学素养导向的试题观察8——2019年成都数学中考第24题（胡不归模型）关联图形，探究本质——2019年中考数学素养导向的试题观察7——2019年重庆数学中考第26题几何问题代数化，发展模型思想——2019年中考数学素养导向的试题观察6——2019年温州数学中考第15题读罗增儒教授的解题：2019年中考数学素养导向的试题观察5——2019年长沙数学中考第26题动静结合中交替演绎定性分析与定量刻画，2019年中考数学：素养导向的试题观察4——2019广东25题（）
2019年中考数学：素养导向的试题观察1——2019连云港16题2019年中考数学：素养导向的试题观察2——2019宿迁27题2019年中考数学：素养导向的试题观察3——2019南京16题（定弦定角）

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今天探讨的是2019年黑龙江省哈尔滨市数学中考第26题。本文还是以学习和研究的态度，既分析试题本身，同时也思考如下的问题：究竟怎么写这样一题一议的文章？对题目如何进行探索、研究和写作，才能对读者、自己的实践有指导意义？……

呈现原题：

26．（10分）已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．

（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；

（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝根号2，求RG的长

     题意和难点分析：

第一问：在第一问的图形中，线段已经超过了6条，直角的条件还有两个，要探究另外两个角的倍数关系，对于学生而言，需要多么耐心、仔细，才能把条件看懂、看完啊！动画理解题意：

静态图形如下：

在理解题意的基础上，这个问题就不难解决了。

1）利用“四边形内角和为360°”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；

解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K

∴∠ODB＝∠OKC＝90°

∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360°

∴∠DFK+∠EON＝180°

∵∠DFK+∠HFB＝180°

∴∠HFB＝∠EON

∵∠EON＝2∠EHN

∴∠HFB＝2∠EHN

(接下来分析第2问，出题者还在使劲的添加线段和角)

    （2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；

笔者用ggb软件画图的效果如下：相比第一问，又多了2条线段，即OA，ME，还多了2个特殊添加的条件，即OA⊥ME，最奇怪的是有一个角度的4倍关系，即∠EON＝4∠CHN，（反思1：这个4倍的角度关系有什么用？如果改为3倍关系，5倍关系又怎么做？）要证明线段相等，即MP＝AB（反思2：如何证明线段相等？依据有哪些？）

(第2问的解决)

（2）证明思路：根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证ME＝AB，再根据“等角对等边”，证明MP＝ME；

（2）解答过程：如上图，连接OB，

∵OA⊥ME，∴∠AOM＝∠AOE

∵AB⊥OE， ∴∠AOE＝∠BOE

∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE，

即：∠MOE＝∠AOB

∴ME＝AB

（反思3：这一步的作用是找中间媒介AB，往下只需证MP=ME，那么怎么证明MP=ME呢？下面利用等角证等边）

∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN

∴∠EHN＝2∠CHN

∴∠EHC＝∠CHN

∵CH⊥MN

∴∠HPN＝∠HNP

（反思4：这一步体现了条件4倍角的作用，即本质是证明了三角形PHN中，由于角平分线和高合一，证明它是等腰三角形，从而得到∠HPN ＝∠HNP ）

∵∠HPN＝∠EPM，（对顶角）

∠HNM＝HEM ，（圆周角）

∴∠EPM＝∠HEM

∴MP＝ME

∴MP＝AB

(第3问，出题者还在前面的基础上继续使劲的添加特殊条件和线段，真的嫌线段不够多吗？原来难题就是靠堆砌特殊条件产生的？这样的问题是好的数学问题吗？

）

   （3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R ，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝根号2，求RG 的长 

还是看看笔者绘制的高清图：

反思5：添加的特殊条件“若HK：ME＝2：3，BC＝根号2”，和线段RG有什么关系呢？

  思路分析： 

（3）由全等三角形性质和垂径定理可将HK：ME＝2：3转化为OQ：MQ＝4：3；可设Rt△OMQ两直角边为：OQ＝4k，MQ＝3k，再构造直角三角形利用BC＝，求出k的值；求得OP＝OR＝OG，得△PGR为直角三角形，应用勾股定理求RG．

具体解答留在明天，请有兴趣的读者先思考……

更多文章请点击文章开头的蓝字“初中数学综合题的教与学”或下面的文章集：初三及中考问题探究篇3.读罗增儒教授的解题：2019年中考数学素养导向的试题观察5——2019年长沙数学中考第26题4.动静结合中交替演绎定性分析与定量刻画，2019年中考数学：素养导向的试题观察4——2019广东25题（）
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