江苏名师孙四周：现象教学与HPM----全国第七届HPM大会报告

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开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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孙四周简介

     孙四周，任教于苏州吴江盛泽中学。江苏省数学特级教师，正高级教师。苏州市教育紧缺人才，吴江区名师工作室领衔人。在《数学教育学报》《数学通报》等发表论文２００余篇。最近几年致力于现象教学的实验研究，已就此课题出版专著《现象教学》及《思维的起源》。

现象教学与HPM

——全国第七届HPM大会报告

苏州吴江盛泽中学孙四周

    一 、什么是现象教学

    要让孩子认识大象，你会怎么做？

    你一定不会给他讲“关于大象的知识”，让他记下来并能够复述。因为“关于大象的知识”大象，就象“关于语言的知识”语言，“关于割圆术的知识”割圆术。所以，你必须“回到问题本身”（苏格拉底）。你会把孩子带到大象跟前，说：“看，这是大象。”于是，孩子瞬间就形成了对大象的认识——这就是现象教学。

当然，我们只能看到眼前的世界，也只能看到表象。要想对大象有全面而深刻的认识，必须联系到三个维度：空间、时间和因果。我们必须去了解大象的种群（空间），大象的进化历史（时间），从中弄清它们生存和演化的逻辑（因果），并用以预测它的未来。

数学教学上有HPM，其实任何知识的教学都需要属于自己的“HPM”。由此，HPM存在的必然性和巨大价值就不言而喻了。

案例1 二面角及其平面角教学（原创）

    A 知识教学

这些都是人类的已有知识，老师的定位就是把这些知识教给学生（为了继承人类文明的优秀成果）。老师向学生提供的素材（黄赤交角、经度）都是真实的也都是重大的概念，但是离学生的生活经验太远，因而这样的素材所带来的仅止于对信息的了解，而无法从素材出发得到对意义理解、迁移和展开。事实上，黄赤交角和地球经度比单纯的二面角更远离学生的生活经验，也更难理解。翻开书本或者折一张纸就能“看到”二面角，而黄道面河赤道面实非容易想见。从教学逻辑上说，不应该通过它们来学二面角，而应该是学了二面角后才来认识它们。因此，尽管老师或教材提供了这些素材，冀以帮助学生理解概念，但这个希望必然落空。在实际教学中二面角及平面角的意义依然是由老师告诉学生，也就是只能采用讲授法教学。

    B 情境教学

     笔记本电脑的开合、书本的折叠、门的转动中，所涉及的“半平面”都是矩形，学生很容易看到矩形的边形成了可变的角（图3），而这又恰好是老师希望呈现给学生的平面角。当学生说出那个角以后，老师就以为探究完成了，点评几句，皆大欢喜。这样的教学看似生动、高效，但其实思考缺少深度，这里的“探究发现”基本属于“一看便知”。学生看到的角是由矩形的边构成的，这两条边本身已显然存在而并非学生构造出来的。而且面对特殊的实物，学生未必会去思考“其他地方是否有平面角”、“把角的边移动到其他位置角的大小是否恒定”（图4），从而展开对一般情形的探究。如此，便也体会不到“在棱上任取一点，作……”，而这又是二面角的平面角概念得以确立的根本之处，也是“数学化”的关键之点。因此，学生没有形成意义上的建构！

    所以，此处的情境更像是对二面角的一个通俗的解释，它把抽象的知识具体化，让知识简单易懂。但是我们知道，真正有用的知识是抽象的知识、真正有用的方法是一般化的方法，真正有意义的学习是学生思维的真实发生。这个教学里放弃了对抽象性和一般化的追求，所得知识也停留在了实验和经验的层面上。教师固然可以在后续的教学中超越这些，但也只能去讲授，这便又回到了上面“知识教学”的窠臼了，此时“情境”的作用极其有限，甚至更像个噱头。

    C 现象教学

让学生拿出一张矩形的纸（也可以用书本或笔记本电脑、门等），进行下列活动：

活动1 你能不能把这张纸折成90°的角？（说明：这时学生还没有“二面角”的概念，但是我每一次这样要求时他们能够折出“90°的角”——这就是人的直觉，数学符合于直觉。哪怕是最高深的数学，最初也都来源于直觉。）

活动2 你能不能把这张纸折成60°的角？（说明：同样能完成。）

活动3 你是怎么确保折成的角就是90°或60°的？或者你怎样向我证明你折出的角符合要求？（说明：学生会去度量矩形与折痕垂直的那一边被折成角的度数，他们的折痕普遍地与某边垂直，因此他们度量的其实就是二面角的平面角。）

    活动4 再折出120°、150°，可以吗？（说明：这必须去度量其补角，很有困难，但因为实物易于观察和操作，最终还算“顺手”。）

（至此，学生已经对“二面角及其大小”有了真实的感知，现在需要的就是在二面角中生成平面角的概念，从而联结学生的数学现实）

  活动6 用实物操作，在树叶形的纸片上把二面角的平面角“制作”出来（说明：两次对折，后一折痕与前一折痕垂直，沿后者剪开。）

      二面角教学的关键在于“平面角”意义的建构。学生能够看见二面角，但是二面角的平面角是看不见的。树叶形纸张上那两条与棱垂直的射线，不是“发现”而是“构造”，二面角的平面角不是具体的，无法找到，它是抽象的，是由学生的头脑生成的。在概念抽象意义形成的过程中，矩形纸张、笔记本电脑、书本的纸页这些具体的事物，为学生的概念生成做了具体化理解的铺设，但仅限于此是不够的，需要由特殊到一般，具体到抽象。所以，仅止于图2、3、4的情境设计，无法促使学生对数学问题的深入思考。必须用去除了特殊性、更有抽象意味的材料促进学生的数学建构，以引发对概念本质的深度理解。在图5的树叶形纸张里，学生基于对矩形纸张的研究经验可以自然联想，在数学直觉的指引下“凭空”设计两条与棱垂直的射线，从而引出一般意义上的平面角概念。这就是思维的创造，是意义的自然生成，是真实学习的发生。而且在“生成”的时候，树叶上两条垂线的位置是不固定的，学生存在对“等角”问题的自然疑问，疑问又进一步促进了思考，在它们自行论证、得到“角与位置无关”的结论以后，其成功的喜悦已卓然可见。这样的学习过程，使他们有了探究能力、情感态度的双重体验，这对学生数学素养和全面素质的提升都大有好处。

    二、现象教学与HPM

    现象教学中，教师最重要的工作是课程开发，而“现象”是课程的基本要素。现象从哪里来？固然可以来自于现实，也可以来自于历史。即使是现实中的事件，也脱离不了历史的背景。因此，现象教学天然地和HPM不可分割。

1数学史实是现象

历史上的事实并不是凝固在时间里不再变化，因为对它的解释可以变，新的解释可以赋予它新的意义，把它变成“另一个事实”。

案例2 数学归纳法与多米诺骨牌

就教学上被引用而言，可能没有任何一个别的史实比这个更有名。数学归纳法的教学基本会用上多米诺骨牌，这样做：

评析真的能从这里生成数学归纳法的吗？如果你一下子说不清楚，我们现在就现身说法，来一次HPM：看看数学归纳法的历史。

    首先，真实的历史是，数学归纳法不是从多米诺骨牌中发现的。相反，多米诺骨牌是因为数学归纳法而流传开来。200多年前古希腊数学家的无穷递降法，已经有了数学归纳法的影子，帕斯卡正式提出数学归纳法是在1659年，而直到195年后的1854年，法国一个名叫多米诺的人才从中国的牌九（一种骨牌游戏）中发现了该效应并介绍到西方。难以计数的中国人玩了数百年的牌九，没有任何人从中发现多米诺效应，更没有发现数学归纳法。即便现在，很多人也是到了学习数学归纳法的时候才从老师那里听说多米诺骨牌。所以，多米诺骨牌是用以解释数学归纳法的，它把艰深的知识通俗化、把抽象的知识可视化，因而为“认识”数学归纳法提供了一个直接的“模板”。

    其次，数学归纳法的合理性在哪里？它的教育价值又在哪里？

    可见的是：数学归纳法的第一步验证了（比如n=1），第二步假设了（K时成立）并证明了（k+1时成立）。那么，还会有下面的疑问：①只验证一个，行吗？要不要多验证几个？②既然是证明一个命题，怎么可以先“假设”它成立呢？既然是假设怎么又可以作为后续证明的依据呢？③是不是因为k+1时成立了命题就整个成立了？……很明显，如果没有这些追问以及回答，数学归纳法就只能是手工操作的一个程序，动手的人只能是奉命而为，他们得满分仅仅是因为“很听话”而已。如此掌握“技能”的人就不是独立的人，就只是稍微高级一点的工具。

    数学归纳法的逻辑合理性在于两点。其一，第一步的验证；其二，第二步的递推。第二步不是为了证明“k+1时命题成立”，而是为了完成“从k到k+1的递推”。在第一次接触时，很多人都在疑惑要不要多验证几个。实际上，有了递推验证一次就足够了，如果没有递推验证1万次也不够。

    上述对于归纳法的理解，属于老师的业务修养，也是老师的存在的意义和价值。那么，这些“修养”从哪里来？答案是：历史可以为我提供丰富的营养。数学归纳法形成的历史上，各种争论就是通往真理的一个个路标。比如，“既然是证明，怎么先可以假设”？“你干脆假设原命题成立算了”！这些都曾经在历史上出现过，也会在学生的身上再次出现（历史发生律）。如果没有对数学史的了解，我们很难获得这些认识；如果离开HPM，学生很难不对知识产生神秘感，而神秘感会让人惶恐不安。

    2 知识的形成过程是现象

教学中要让学生自然“生成”知识，毫无疑问，教师是否了解这个知识的真实历史，对于分析知识、分析学生、分析教学将带来决定性的影响。对“历史发生律”的理解和应用，是现象教学的必然要求，而它的产出也是巨大的。

案例3 库仑定律

这就是没有HPM因素的知识教学，曾经是我们教学的常态，那时还有个喊得很响的口号，叫“以纲为纲，以本为本”（“纲”是指《教学大纲》，“本”是指课本），老师不敢雷池一步。

教法二  除了按“教法一”讲授课本内容以外，还穿插讲述库仑发现此定律的故事，并且讲库仑孜孜不倦的科学精神（有一次库仑思考问题入了迷，就拿起粉笔在前面的黑板上演算了起来。谁知那“黑板”向前移动了，库仑便追着那“黑板”继续写。原来那并不是黑板，而是马车的箱壁。）

这就加入了HPM因素，也就有了趣味性和人文性。不仅教授了知识，还熏陶了学生的品德，培养了他们的科学精神。

教法三 结合库仑定律的演进进行教学，深度融入科学史。

天才的科学家做实验，是为了推翻前人的结果；平庸的科学家做实验，是为了验证前人的结果。我们的学生做实验，为了什么呢？是为掌握实验技能吗？这是一个目的，但应该不是主要目的，主要目的是为了确立实验的精神和意图。我们要让学生明白“为了推翻而去做实验”的道理，这才是实验教学形而上的追求。每一次实验都只是一个特例，一个特例不能证明普遍结论，倒是可以否定一个普遍结论，这是逻辑上的一个常识。

    3 把知识当做现象

      把前人的成果当知识看，我们就会去了解它、理解它、掌握它、应用它、评价它、创新它；把前人的成果当现象，我们就会去（用数学的眼光）观察它、分析它、表达它。不同的态度带来不同的精神状态。康托尔说：“数学的本质在于它的自由”，应该不是指我们对前人知识的崇拜和领受，而是指在现象面前我们的主体姿态。

案例4 高次幂的概念

对学生而言，高次幂及其运算是很困难的，历史也证明了这一点。古希腊如此多的思想巨人和数学大师，都认为不能有4个数相乘。理由是：一个数表示长度，两个数（相乘）表示面积，三个数（相乘）表示体积，四个数（相乘）什么也不表示，因此就没有意义。但是，现在的小学生却轻松地接受了4个数相乘，轻松到老师和学生都没有感觉到这个问题的存在。为什么？他们没有把2X3当作面积，也没有把2x3x4当作体积，他们把这些当作“乘法”。也就是说，乘法就是它自己！这时的乘法就是一种现象。在观察了2x3=6和2x3x4=24这种现象之后，2x3x4x5就自然地勾起好奇心了。

类似地，在教学中我们把，，当作现象，这三个类似的东西放在一起，人就会有归纳的冲动，自然生成以及（共n个）。

在“现象”的观点下，每一次学习都是一次创造，人成了有灵性的动物；在“知识”的观点下，每一次学习都是一次接收，人成了装载的工具。知识教学中，即使使用探究式、发现式教学，也往往局限在知识的框架之内。对知识的思考，得到的还是知识；对现象的思考，得到的是对世界的认识。

案例5 弧度制的“不写单位”

关于角，欧几里德说“角是一种关系”.也就是说，他不把角当作是一个独立的存在.这是什么意思？来一起看看另外几个角：两条异面直线根本就没有相互接触，它们的角是人为规定的；“斜线和平面所成角”、“二面角”、“高维向量之间的角”等，都是人为引进的一种量。可以说，就是用以反映“一个对另一个的倾斜程度的”，就连直线和平面平行，我们也规定了“它们之间所成的角是0”.所有“角”都是两者之间的，如果从角中拿走一条直线，这个角也就不存在了。如果从线面角中拿走线或面，这个角也就不存在了。角确实是二者之间关系的反映。

 说角是一种关系，欧几里德的观点太领先了，以至于领先于我们这个时代的很多人。不要认为古代的就落后，思想家的洞见可以穿越千载。这也是HPM被广泛使用的原因之一，我们喜欢它是因为我们需要它。

4 数学史的启发功能

案例6 田忌赛马

 田忌赛马不但是中国著名的智慧故事，还是现代重要学科统筹学、博弈论、对策论的重要源头，其吸引人之处在于：田忌对阵国王一共有6种方式，即

	对阵	田忌：国王
国王	上	中	下
田忌	上	中	下	0:3
上	下	中	1:2
中	上	下	1:2
中	下	上	1:2
下	上	中	2:1
下	中	上	1:2

由表可见，在田忌的所有策略中，有1种3局皆输，4种在3局中获胜1局，只有一种可获胜2局从而以2:1赢得整个比赛。孙膑正是帮他找到了那个唯一的获胜策略，而他本人一直选择的是最差的那一种，一局不胜。

    我直观的感觉是，如果马匹的数量n更多一些，田忌获胜的策略将不是一种，获胜的概率将增加。我试验了一下n=4 的情形，发现仍然是只有1种策略可以获胜；但是n=5时就有27中策略了。我感兴趣的是，对于一般的情形，是否可以求出一个表达式，明确算出田忌获胜的局数。我被问题深深地苦恼着，以至于影响了我对其他问题的思考。无奈之下我便把它与另外一个没被解决的在几家数学期刊上公开悬赏（当时的奖金是100元），名为《难题求助》。问题之一便来自于田忌赛马，简述是：双方各有3匹马时，田忌有且仅有1种获胜方式。如果双方各有n(n3)匹马，且实力对比如前，田忌有多少种获胜方式？用含有n的式子表示。

    此后全国各地便有零星的“答案”反馈给我，提供者有中学教师，也有专业数学家，可惜没有一份是正确的。2014年我的同事叶志骅和他同学（浙江大学教授）用计算机算出了n=4，5，……，10时的结果：

马匹数		田胜数	总排数	胜/总
3		1	6	0.166667
4		1	24	0.041667
5		27	120	0.225
6		58	720	0.080556
7		1312	5040	0.260317
8		4541	40320	0.112624
9		103345	362880	0.284791
10		504046	3628800	0.138902

（计算机运行近10个小时)，这让我看到了希望。过一段时间，蓝缨学校的徐辉老师便传给我一份解答，他用的是英国数学家创立的名为“置换”的工具，给出的答案是：

  案例5我们学校的学生活动小组曾经研究“井田制与税率”，得出的结果是任意四边形及三角形田块，按井田制的形式划分，中间一块的面积都等于总面积的九分之一，相当于税率是11%。

案例6英国著名的科技史家李约瑟说：“中国没有造出一台高水平的日晷”，我们便把日晷的原理和制作当作学生天文社的活动内容。最后，学生不但能制作出高水平的日晷，还能在日晷上显示农历的24节气。比如大雪那一天，晷针的影子末端全天都指在“大雪”那条线上，同时影子还指向正确的时刻。

    三、几点想法

    我认为有下面几点需要注意：

   （1）在介绍数学史的时候，注重人类思想进步的脉络，略去琐碎的细节，对细节的过分关注有害于对事物的整体理解.比如在中学就不需要弥细无遗地介绍与某个知识有关的人物、时间、地点等，某年某月某日是否知道，这不影响数学思维。很多时候没有必要强调谁谁谁领先世界多少年，那种廉价的虚荣心不需要.即使从“爱国主义”角度看，如果在领先的某个点上大肆渲染，在不领先的地方怎么说？在世界越来越一体化的今天，不能给学生留下这样的潜意识：我们要和全世界比高低，我们和全世界不一样.国家、民族和个人都应该融入世界而不是征服世界,这是价值观也是胸怀.

   （2）只能向学生介绍能听懂的，或者稍加解释就能听懂的部分，完全听不懂的不能介绍.人不是因为看见而知道，而是因为知道而看见.你看见一棵树却没有看见那是一棵松树，是因为你知道“树”而不知道“松树”；你看见那是一棵松树，却没看见那是古松，是因为你知道“松树”而不知道“树龄”；你看见那是棵古树却没看见“五大夫松”，是因为你不知道秦始皇曾给了它封号。而这棵树的管理员很可能看不见“松树”，他看见或想到这棵树时，头脑里反映出的是“五大夫松”……人只能看到自己知道的东西，只能看到所懂的那一个层次.超出这个层次的，凭口头告知根本没有效果.比如在弧度制这节课上，就不适合介绍炮兵是怎样用“密位”瞄准目标的，尽管它很有趣.我曾经遇到过一个例子：

案例5 函数的历史

    我在网上看到一篇的介绍函数历史的文章，从伽利略开始到贝努里、欧拉、黎曼、戴德金等，逻辑清晰、史料翔实，还夹杂名人趣事。有意思的是，在帖子后面有网友留言，第一个网友就吓了我一个措手不及，他的留言是这样的：“要是没有这些人该多好啊！”——一个多么沉重的感叹号啊！应当说着还是个有求知欲的孩子，因为他把文章看完了。还有更多的人，是不能把文章看完的，也许一看标题就躲开了。

我们认为“有趣”的历史知识，在学生眼里未必是有趣的，还可能是可怕的。人要听懂一句话，必须是里面的每一个词都能懂。如果不懂的，一定会按自己的理解给它一个意思，那个时候很可能是对原句的曲解。

    （3）关于真实性问题，应该慎重。比如伽利略是否做过斜塔试验、牛顿有没有被苹果砸到、无理数的发现者是否被投进了大海、卡丹是否欺骗了塔塔利亚等等，就连专家都搞不清楚（也许永远也搞不清楚了）。我们不妨以“传说”、“据说”等字眼开头，表现出自己的客观与谦卑，没必要渲染过度。

“真实”有两种，一种是事实的真实，一种是逻辑的真实，逻辑的真实比事实的真实更真实。比如伽利略在登上斜塔之前就知道了重的物体和轻的物体下落一样快，就算不做实验也无妨。没有证据证明这个实验做了，当时的报纸没有报道，伽利略本人的日记也没有记载。我们相信它是真的，仅仅因为我们认为它是真的，当然应当允许别人认为它是假的。

    结语

数学史究竟给了我们什么？可以说给了我们知识，但我更愿意说它给了我们现象。对于学生而言，这有区别吗？有，区别还很大。给予学生知识，他们能学会；给予学生现象，他们能观察。虽然最后都能得到知识，但来路和前景不一样。现象教学的宗旨是教会学生思考而不是让学生记忆，HPM的重要功能之一是让学生更好地理解数学，二者的追求是一致的。如果把数学史当知识教，数学史就不是文化了，那也脱离了HPM的宗旨，把数学史当现象倒是很好。如果离开了数学史的数学文化，现象教学也将成为无源之水，无本之木。

目前，世界各国都在呼吁教育变革，为什么？显然是对教育现状不满意。那么，改什么？肯定不能停留在技术、手段和技巧上，必须有观念上的转变。如果用先进的技术、娴熟的手段、高超的技巧，去落实旧有的观念，那就不是“变革”而是“强化”。HPM为我们提供了很多的东西。我认为最重要的是提供了看世界的多个角度。它让我们直面真实的、多彩的世界，让人学会独立的思考。这是着眼于人的发展的教学，而不是让人去继承什么或记忆什么

    参考文献

   [1] 汪晓勤，HPM：数学史与数学教育[M]。北京：科学出版社，2017.7。

    [2] 孙四周，思维的起源[M]。北京：中国国际广播出版社，2019.5。

   [3] 孙四周，现象教学[M]。长春：吉林教育出版社，2019.5。

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