矩形综合运用（3）——[尖子生之路2019版]

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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矩形综合运用（3）

【例9】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，作∠ABE＝∠FBE，BF交边CD于点F．已知AD＝√3AB，确定线段DF与FC的数量关系，并说明理由．

【图文解析】

法一：如下图示．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

（2√3a）²+x²=(4a－x)²，

整理，得x=a/2．

所以DF=2a－a/2=3a/2．

故DF＝3CF．

法二：如下图示．

解得DF=3a/2．……

法三：如下图示．……

【例10】如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于E，交DC延长线于F，点G为EF的中点，连结DG．

（1）求证：BC＝DF；

（2）连BD，求BD：DG的值．

【图文解析】

如下图示．

不难证得△BCG≌△DFG（SAS），

所以BG＝DG，∠CBG＝∠FDG，

进一步，得∠BGD＝∠EGC＝90°，

得△BDG为等腰直角三角形，

所以BD＝√2DG，故BD：DG＝√2：1．

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【例11】如图，矩形ABCD中，AB＝√2，AD＝2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，求BE的长．

【图文解析】

情况一：当DF＝CD时，

如下图示．BE＝√2．

情况二：当CF＝CD时，

如下图示． BE＝1．

情况三：当CF＝DF时，

如下图示．

可用三角函数或相似或勾股定理（用三次）求解．下面仅提供用三角函数求解

由tan∠MAF＝tan∠NAD，

进一步，得BE＝2a＝2－√2．

【例12】如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，E为对角线BD上一个动点，以E为直角顶点，AE为直角边作等腰Rt△AEF，A、E、F按逆时针排列．当点E从点B运动到点D时，点F的运动路径长为　．（本题解法用到相似，不适合八年级）

【图文解析】

法一：

由AG：AD＝AF：AE＝√2：1，且∠GAF＝∠DAE＝45°+∠DAF，得到△GAF∽△DAE，得∠AGF＝∠ADB（定角，G为定点），且FG：DE＝AF：AE＝√2：1，因此点F的运动路径为线段，如下图示．且FG＝√2DE．即当点E从点D运动至点B时，点F的运动路径长为√2DE＝√2BD＝5√2（此时F点与点N重合）．