古埃及分数的现代奇遇

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将整数表示为分数和，可以追溯到3000多年前古埃及中的数学问题，而与之关系密切的古埃及分数，至今仍激发着数学家的好奇心。上世纪80年代，著名数学家埃尔德什·帕尔猜想，任何“足够大”的整数集合都能通过对其倒数求和最终组合成，1但他并未证明自己提出的猜想。最近，这个延续了40年的猜想得以解决。

撰文 | 张和持
古埃及分数

考古发现，数千年前的古埃及人就已经熟练掌握了相当程度的数学知识。纵然历经沧海桑田，仍有文献流传了下来，其中最著名的就是莱因德古本（Rhind Mathematical Papyrus）和莫斯科古本（Moscow Mathematical Papyrus）。这些莎草纸上记录了数十个问题及解答，其中一题是：如何让 个人平分 片面包？就其涉及的数学而言，这个问题对于今天的我们而言似乎过于显然了：只需要每人分 片就行了。但是考古学家们发现，在古埃及，并没有 这个数字！在现存文献中，除了 和 以外，所有的分数都是以 的形式出现的。这可能是因为，在分面包的时候，将一块面包平均分成 份更容易操作。古埃及人在计算的时候，似乎需要借助分数表，这也在上述古本中占据了一定篇幅。而对于上面的问题，古埃及人给出的答案是

也就是说：将 片面包中的 片，每片平均分成 块，这 块每人拿 块；剩下的 片，每片平均分成 块，这 块中的 块每人再拿 块；最后还剩的 小块，每块 等分，最后每人拿 块。今天，我们把形如 的分数称为古埃及分数。当然，每一个分数都可以拆分成古埃及分数的和，因为

这自然没有什么难度。这说明古埃及人的分数虽然复杂，但跟我们今天所使用的分数表示的东西是一样的：一块面包不管怎么等分，得到的都是有理数。但要是反过来问的话，难度就大大提高了：假如选定一组互不相同又大于 的整数，那么能否用它们的部分倒数和组合出一块面包呢？或者说，对于集合 , 是否存在子集 满足

如果 是有限的，那肯定存在固定的答案，只需要穷举就行了。比如，当 时，我们可以借用上面的例子

但是这只是运气好；如果 ，那就根本凑不成 ， 毕竟这 个数全加在一起也比 小。你肯定会说：这是因为 太小了，要是 再大一点不就有了吗？

那这回我们取 为所有素数。存在无穷多个素数，但是素数的子集没办法构造出上面的等式：假如存在互不相同的素数 满足

那么

这说明 整除 ，这与他们是互不相同的素数矛盾，说明上述等式不存在。为什么会出现这样的现象？难道素数的集合还不够大吗？

集合论中，一般通过映射来比大小：如果两个集合 和 之间存在一一对应的关系，则称二者等势， 。如果 与 的某个子集等势，则 。但是对于无限集和，它却有可能与自己的子集等势。可以证明，在等势意义下，自然数集 是最小的无限集，而它包含的所有无限子集都与 等势，这就包括了素数集。但是就上文中遇到的问题而言，素数集显然是不够大的。那么我们就需要定义新的大小概念。

莱因德纸草书记载的奖有理数表示为分数和 图片来源：Alamy Stock Photo

自然密度

那么我们所需要的“大”是怎么个大法呢？其实核心诉求是：我们不管 是奇是偶，是素是合，只要它刚好包含了我们需要的几个数字就行。这其实跟概率的观点不谋而合：随手抓一把数字，要是抓的比例够大，就更有可能抓到满足要求的数字。

这个概率该怎么算呢？我们定义 中不大于 的数的个数为 ，那 在整个 中被随机抽出的概率就是

这里 被称为自然密度。不过这个极限并不一定总是收敛的，所以一般使用的是上极限

称为上密度，以及下极限

称为下密度。当数列不收敛的时候，会趋于上下摆动，而上下极限就是摆动的上界和下界。自然密度的概念非常符合我们的直观，比如偶数集和奇数集的自然密度都是 ， 刚好一半一半。那么质数的密度呢？根据著名的素数定理，当 足够大时

也就说，素数的自然密度是 。这与我们所预想的是相符的：素数集的确太小了。那么究竟一个集合的自然密度得有多大，才能起码装下一个倒数和为 的子集呢？对此，两名数学家大胆提出了猜想。

在1980年的一篇文章^[1]中，匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál，英语中写作Paul Erdős）与美国数学家罗纳德·葛立恒（Ronald Graham）提出了将 分解为古埃及分数的问题，使用上文中的符号，可以分为两个版本：

1. 如果把大于 的整数分成有限个 份（或者用数学家们的话讲，把数字染成 种不同颜色），那么是否必有一份包含了我们想要的有限子集 ？
2. 如果 ，那么 中是否包含了我们想要的 ？

前一问中分出的 份中，起码有一份的自然密度是大于零的。所以如果证明了后一问，也就证明了前一问。这样的二连问并不是无中生有。在数论中，每一个涉及染色的命题，都对应着一个涉及自然密度的命题：虽然证明前一问并不能推出后一问，但用到的方法却能把我们引向更远的地方。

寻找解析数论的新方法

不过即便是证明第一问，也并非易事。这种涉及加法的数论研究一般将其称为加性数论或堆垒数论。这个分支相信许多数学爱好者有所耳闻，因为中国解析数论学派的代表人物华罗庚、陈景润等人，都在这一方面作出巨大贡献。华罗庚还写过《堆垒素数论》一书；大家熟知的哥德巴赫猜想也属于这一领域。

对于加性数论的大多数问题，常用初等方法乃至代数方法接连失效，剩下能打的就只有解析数论了。所谓解析数论，就是将数论问题转化为对某个函数或积分的估计（所谓解析就是分析，即涉及极限，微积分及其衍生产物的学科）。这也是加性数论对外行来说过于抽象的原因：明明是一个数论问题，证明过程却全是积分和估计式。

埃尔德什和葛立恒的猜想也是如此。埃尔德什于1996年与世长辞，他一生未婚，也没有儿女；只留给人类1525篇论文，他也因此成为了发表论文数量最多的数学家。直到生命的尽头，他都没有看到自己的猜想得到证实。几年后的2003年，欧内斯特·克鲁特（Ernest S. Croot III）的论文^[2]横空出世，证明了猜想的第一问。值得一提的是，早在2000年，克鲁特就在自己的博士论文中证明了这一结论。克鲁特引入了强有力的调和分析方法，既优雅又极富技巧性。这让学术界对这位新星大为期待。

所谓调和（harmonic），在物理中一般翻译为谐波，这门学科来自于傅立叶的惊人发现——很多周期函数都能分解成三角函数的无穷和，也就是傅里叶级数。更加神奇的是，傅里叶级数和傅里叶积分可以用来估计数论中的一些函数，这就将调和分析和解析数论紧密地联系在了一起。从那时起，这两门学科就互相支撑着向前，并在二十世纪现代数学的抽象浪潮下飞速发展。

但面对第二问，克鲁特的巧妙方法失效了。不论他如何摆弄现有的工具，都没办法取得更多进展。此后，克鲁特转向了其他问题的研究，我们的猜想也在二十年中停滞不前。到了2020年，葛立恒因病去世，他也没有能够看到猜想的解决。

转机发生在2021年。九月的一天，牛津大学的博士后托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）接到了一项任务，给他们的讨论组讲解二十年前克鲁特的论文。在准备的过程中，布鲁姆突然灵感乍现——克鲁特的方法并没有走到尽头！他马上着手这项工作。

在这二十年中，虽然猜想并没有进展，但调和分析等前沿数学并没有止步不前。现在，布鲁姆的手上掌握了更多工具。他采用更先进的组合数论/解析数论技术，改进了克鲁特的方法，最终在几个月内完成了证明。

布鲁姆证明的结论甚至比原来的猜想更强——只要 就行了。也就是说，数列并不一定要收敛，只需要在某个正数附近无穷震荡即可。这是一项非常出色的成果，虽然目前还只是挂在预印本网站上没有正式发表，但已经获得了很多数学家的认可。

那么现在，这个跨越了40年的猜想总算告一段落。不过数学是没有止境的；除了那些令人眼花缭乱的技巧，我们还剩下一些问题：哪些集合的倒数和凑不成 呢？如上文所说，素数集不满足要求。但是并不是所有自然密度为 的集合都不满足要求。

更多的新问题又将把我们引向何处呢？让我们拭目以待。

参考文献

[1] Erdős, P. and Graham, R. L.: Old and new problems and results in combinatorial number theory. Enseign. Math. 30-44 (1980) 

[2] Croot, Ernest S., III (2003). "On a coloring conjecture about unit fractions". Annals of Mathematics. 157 (2): 545–556. arXiv:math.NT/0311421. doi:10.4007/annals.2003.157.545. MR 1973054. 

[3] Cepelewicz, Jordana (2022-03-09). "Math's 'Oldest Problem Ever' Gets a New Answer". Quanta Magazine. Retrieved 2022-03-09.

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