边疆行（之二）—— 一节课的纵横深浅（续）
继续前天的话题—— 一节课的纵横深浅。
我们不妨从考题中思考我们的课堂
长期以来，老师们对于“韦达定理”耿耿于怀——留之不得，弃之不舍，到底教不教？考不考？怎么教？如何考？
一次又一次，我们以这样的方式，考查学生对一元二次方程内容的认识。 学生往往需要将上述方程化为标准形式（一般式），然后套用一元二次方程根的判别式求得结论。
学生答题上的失误反映出我们日常教学中可能存在一些问题，仅就一元二次方程而言，对求根公式的推导，在教师的教学意识上没有得到足够的重视。
建议老师们不论是新课教学还是复习教学，在不同时期，要带领学生一起重温一元二次方程求根公式的推导过程，这个推导过程可以从初三一直重温到高中！让学生对每一个推导步骤进行三个问题的思考：
1.为什么要这么做？
（不这么做不行吗？！）
2.为什么可以这么做？
（凭什么敢这么来？！）
3.还可以怎么做？
（不用你这套程序行不？！）
一旦学生熟悉了一元二次方程求根公式推导过程的每一步，后续四个二次的学习就成为顺水推舟的易事了。
同样，当推导得出方程的两根后，不要急于操练它的应用，而是让学生去观察：方程两个根的结构特征，从中发现两根和与积的美妙结构。与其纠结于这个结论考不考，怎么考？不如在教学中引导学生去思考：为什么”韦达定理“被称为”根与系数的关系“？根与系数的关系是不是只有和与积两个？还有哪些？还可以有哪些？这样的问题可能让学生对二次方程的本质特征有更深入的了解，也就不容易被这一知识的不同呈现方式的简单问题考倒了。这种教学方法是不是还可以迁移到其他内容的教学中？
福建师大董涛教授在《基于PCK结构框架的数学课例分析程序与特征》一文中提及中学数学教学主要存在两个问题：
一是目标与内容不分，忽视培养学生的数学能力。很多教师被教材、教辅所左右，备课时主要考虑内容安排与设计学习活动，很少考虑以这些内容为载体实现什么目标。
二是忽视学段衔接，疏于知识的结构化与系统化。
这两个问题值得每一位数学教育工作者深思。
再如：函数单调性的概念，小学就有变化对应的初步认识，初中又有了图形化的表示，这已经完成了一次抽象，高中学习这一概念是图形语言向符号语言的转化，形成严格的定义属于二次抽象.又比如，等差数列的概念是通过例子归纳形成的一种向文字语言的抽象.故概念形成过程的教学主要是引导学生进行抽象的过程，这一过程的设计重点就是教给学生抽象的一般方法.这是大多数教师难以达到和困惑的问题.常见的一些设计，往往是罗列了许多现实的例子、教师布置学生画图象、举例子、找相同点、几何画板演示等许多任务，但就是不告诉学生为什么要完成这些任务！就函数单调性这节而言，用初中描述性的方法“上升”、“随x增大而增大”有什么不可以？关键在于有一个认知矛盾没有发现——不知道函数图象的形状，能不能研究函数的单调性.故必须学习一种新的通过运算的判断形式. 这个从具体到抽象的过程不能一带而过。
现在的许多概念教学由于操作上的不当，背离了概念教学的本质. 确实有必要对概念形成过程的教学进行深刻的分析、探索适应概念教学的基本流程的基本设计.
教学中该慢时要有耐性，给学生留白（让学生去补白），该快时且快，不用操心太甚。
网络上看到一个不错的案例，分享于此，感谢不知名的原作者！
函数的单调性
第一步：回顾以往经验：
（1）让学生说出某地区2007年8月8日至24日气温变化图像的意义.（函数值随自变量的变化而变化）
（2）指出函数y=x2 , y=x, y=2x图像的共同点（在x>0时，函数图象是上升的，也可称为函数值随x的增大而增大，亦即区间(0,+)上的增函数）.
第二步：认知冲突：
你能知道函数y=x+1/x的单调性吗？
（将单调性符号化的必要性）
第三步：怎样抽象：
随x的增大而增大如何表示？
（1）如果0< x1<x2，f(x1)与f(x2)的大小关系会怎样？
（2）如果0<x1<x2<x3<.......<xn，则f(x1),f(x2),f(x3),.....,f(xn)的大小关系又怎样？
（3）给出一个简洁的定义.•
第四步：意义的解释与辨析：
（1）定义中的关键词是什么?
(2)“任意”、“都有”能否去掉？试举出例子.•
第五步：概念的应用：
例子：物理学中的玻意耳定律p=k/V (k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.
（1）明确问题：证明函数p==k/V在区间（0，+）上是减函数.即对于（0，+）上任意的两个实数V1<V2，如何证明p(V1)>p(V2).
(2)回到定义去：
V1<V2，即V2−V1>0；而p(V1)>p(V2)，即p(V1)−p(V2)>0.
不难找到证明的思路，也深化了对于概念的理解.
如果到了第二节的学习可进行一定的找单调区间、证明单调性的问题进行练习，并研究出y=x+1/x在区间（0，+）的单调性，以解决上一节的问题.（彻底解决还需到学习了函数的奇偶性后）这样也进一步达到了对函数概念的深化理解.
第六步：找到联系.
（1）对于任意的x1,x2属于D且x1与x2不相等，都有 [f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>0.
（2）能否判断函数f(x)是D上的增函数？（此举作为导数定义的渗透）
（3）画出函数的知识框图（略）：这个不完整的知识框图留给以后学习逐步完善.使学生有一个将概念系统化的意识.
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