邹生书——顶点在三次函图象上的正方形面积调考题的几种解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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顶点在三次函图象上的正方形面积计算

调考题的几种解法

湖北省阳新县高级中学         邹生书

12.已知一个正方形的四个顶点都在函数y=x³-4.5x+1的图象上，则此正方形的面积为（   ）

A.5或17/2         B.5或10        C.5或17         D.10或17

分析：这是2020武昌区高三4月调考理科第12题，是一道顶点在三次函数图象上的正方形面积计算题，我们知道三次函数是中心对称图形。即使不知道一般三次函数图象的中心对称性也不影响对问题的解答，因为这个题目中的三次函数比较特殊，没有二次项，将这个函数的图象向下平移1个单位，得函数解析式为y=x³-4.5x，这是一个奇函数，其图象关于原点中心对称。而平移后图象上的正方形也是中心对称图形，它们都关于原点成中心对称。下面在此基础上，我们给出三种解法与读者朋友交流分享。

评注：上面分类讨论求四边形的面积时，并没有解这个关于K的一元二次方程，而是利用这个方程进行降次，最后利用这个一元二次方程进行整体代换，而求出面积。注意这种设而不求、整体代换、降次求解的方法。

点评：由上述解法知，本题重点考查数形结合思想、函数方程思想和化归转化思想，考查分析问题和解决问题的能力，考查运算求解等数学核心素养。编者认为：本题难度较大，适合数学竞赛，不适合用于高考和高考模拟。

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