2016年全国青年数学教师优质课一等奖：“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”教学设计实施与反思

                  原载《中国数学教育》2017.2

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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作者简介：丁菁，女，1980年生，江苏南京人。中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.  现就职于南京师范大学附属中学。获第九届南京市学科带头人称号，在2016年举办的第八届全国青年数学教师优质课观摩与展示活动中，获全国一等奖。

“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”教学设计实施与反思[1]

摘要：高中阶段对函数的研究主要分为两个阶段，第一个阶段是通过图象归纳性质，第二个阶段是利用导数研究函数的性质. 本节课是在研究了三角函数的图象与性质的基础上进一步研究函数y＝Asin(ωx＋φ). 本节课是“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，教学内容是探究参数A，ω，φ变化对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，教学中让学生自主设计研究方案，从中形成多参数问题的一般研究策略，在由数释形的过程中，形成研究函数图象变换的一般方法，从中培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维.

关键词：图象变换、自主探究、研制方案、由数释形

正文：

一、内容与内容解析

    1．本课地位和作用

    三角函数是描述周期现象的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要的作用．“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”是三角函数的一个重要内容，通过揭示参数A，ω，φ变化对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响，有助于进一步深化对函数图象变换的理解和认识，同时也有助于体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

    2．本课内容剖析

   “函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”主要是探讨函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象之间的关系．图象是由点构成的，图象变换的本质是图象上点的位置变化，而点的位置变化对应着点的坐标变化，因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

本节课是“函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象”的第一课时，本节课的教学设计是先分别探讨φ、A、ω对y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再探究y＝sin(2x＋1)的图象和y＝sin2x的图象之间的变换关系．其中，对参数φ的研究方法可以迁移到后续问题解决中去．

本节课的重点是：对 y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象和y＝sinx的图象之间的变换规律的理解.

二、目标与目标解析

    1．分别探究φ、A、ω对y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的影响；

    2．让学生自主设计研究方案，从中形成多参数问题的一般研究策略；在由数释形的过程中，形成研究图象变换的一般方法．从中培养学生的探究习惯、发展学生的理性思维．

三、学生学情分析

知识上，学生学习了三角函数的图象与性质；方法上，通过必修1和三角函数的学习，具备了数形结合研究函数的经验，对二次函数等一般函数图象的平移变换有所了解；能力上，能够通过观察图象获得结论，并能从数量关系上进行逻辑推理．本节课改变作图观察猜想验证的常见研究思路，引导学生从代数角度理性分析，探究图象变换的本质．

    1．参数φ引起的平移变换，学生已有经验“左加右减”，为什么如此呢？在教学中引导学生理性思考，让新旧知识交汇，有利于提升学生对平移变换的理解；

2．A、ω对y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)图象的影响，由学生类比方法独立研究．其中，参数A和ω的取值，学生会忽视0＜A＜1和0＜ω＜1情况，在这里注意引导，从而全面认识参数A和ω的变化引起的图象变换．

四、教学策略分析

本节课的难点是：图象变换的本质．

突破难点的策略是抓住点的坐标这一数的本质认识图象的变换，为此在具体中抽象，在探究中提升．①通过探讨φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响，初步感悟变换的实质，进而类比探究A、ω对y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响．比如，从y＝sinx到y＝sinωx，代数上是用ωx代换x，因此是将y＝sinx图象上坐标为(x₀，y₀)的点变换到坐标为(ω1x₀，y₀)的点，所以是将y＝sinx图象上各点纵坐标不变、横坐标变为原来的ω1；②从y＝sin2x的图象变换到y＝sin(2x＋1)的图象，究竟是向左平移1个单位还是21个单位？本节课让学生多次经历探究过程，从中理解图象变换的本质．

教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个具体的例子，增加供归纳的样本，让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，逐步概括图象变换的规律．学生通过充分地思考和探究，发现函数图象之间的关系，并对结论进行理性思考，从中学习解决问题的一般方法．

本节课遵循自主探究的教学方式，因为每个人的知识、能力不同，因此认识问题的习惯与特点不同，所以本节课并不把探究过程设计成一个封闭的、静态的系统，而是设计为一个动态的、开放的系统，充分发挥学生的主观能动性，在探究活动中理解图象变换的本质，在探究活动中培养学生的数学素养．

五、教学过程

设问2：显然，参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到不同的函数表达式，进而函数图象就发生变化，在这个大家庭中，有你熟悉的函数吗？

    结论：函数y＝sinx．

2．组织讨论，设计方案

问题1：如何由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？

师生活动：引导学生制定研究方案，教师板书方案．

小结：在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案，即相对固定其中2个，仅一个变动，先分别探讨φ、A、ω对函数y＝sin(x＋φ)、y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的影响，再综合．

【设计意图】

首先，强调面对一个问题，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法;其次，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化，体会从简单到复杂的研究问题的一般方法．

【说明】

课堂上，学生给出了下列三个研究方案：

   以上这些方案都是由学生自主探究生成的，选择方案2是因为：①“五点法”作图是在已知图象的基本形状与特征的前提下所采用的一种简化作图的方法．而此时对于五点以外其余点的特征尚不清晰；②对于方案3，从y＝Asinωx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，本质上还是研究φ对图象的影响，不如先令A＝1，ω＝1．

3．引导探究，解决问题

问题2：如何由y＝sinx的图象得到y＝sin(x＋1)的图象？

师生活动：①让学生们说一说，几何画板作图验证，追问学生“为什么？”；②再举几个例子如：y＝sin(x－1)，y＝sin(x＋)；③抽象到一般．

【设计意图】

第一，人们认识问题大多从具体到抽象，具体的研究清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说图象变换是图象上每点的位置变化，从数上讲是点的坐标变化，这里找出是纵坐标相同的两点，从横坐标的变化关系解释平移变换．

着重探讨清楚φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响，学生可以将探究方法迁移到后续对A、ω的探究中去．

问题3：(1) 如何由y＝sinx的图象得到y＝Asinx(A>0)的图象？

(2) 如何由y＝sinx的图象得到y＝sinωx(ω>0)的图象？

师生活动：让学生类比之前的方法自主探讨，然后交流．

① y＝Asinx(A＞0)的图象可以看作是把y＝sinx图象上所有点在横坐标不变的情况下纵坐标变为原来的A倍得到的．

【设计意图】

类比前面的探讨方法，请学生独立探究A、ω对y＝Asinx、y＝sinωx的图象有什么影响. 此处学生再次经历由数释形的过程，更加突出从点的坐标这一数的本质理解图象的变换，实现思维水平的提升，体验探究方法.

设问3：刚才我们分别探讨了φ、A、ω对函数图象的影响，我们是怎样研究的呢？

结论：（1）从特殊到一般；（2）作图比较；（3）理性分析．

小结：φ引起的是图象的平移变换，A、ω引起的是图象的伸缩变换．图象变换的本质就是图象上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化．因此，欲研究函数图象的变换规律，只需研究图象上每个点坐标的变化规律．

4．启发反思，感悟方法

探究：如何由y＝sin2x的图象得到y＝sin(2x＋1)的图象呢？

师生活动：学生讨论后交流．这里是向左平移1个单位还是向左平移1/2个单位？①利用几何画板画图观察，②从坐标关系理性分析．

【设计意图】

探讨y＝sin(2x＋1)的图象与y＝sin2x的图象的关系，巩固本节课所学方法，深化对变换本质的把握，为下节课的研究铺垫. “为理解而学习、教学”是建构主义的核心目标．

鼓励学生进行探究，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答．这样做有利于培养学生的探究习惯，发展学生的理性思维．

5．规划任务，拓展延伸

小结：今天我们分别探讨了φ、A、ω对函数 y＝sin(x＋φ)、

y＝Asinx(A>0)、y＝sinωx(ω>0)的图象的变换规律，下面

探讨什么呢？

【设计意图】

    培养学生反思的习惯，确定接下来的探讨内容和方法.

布置作业：1．阅读课本（系统回顾本节课学习内容，学习规范表达）；

2．书第39页练习第1题，第4题．

六、反思

1．本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性，体会y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)是刻画周期现象的重要数学模型．

2．本节课主要问题是认识y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与y＝sinx的图象的关系，因为这里参数A, ω, φ对函数图象都将产生影响，因此往往学生感到抽象和难于解决．为了突破此难点，在教学中引导学生制定探讨思路，并在此基础上确定探讨思路，即相对固定其中2个变量，只探讨1个变量的作用，体会探讨多变量问题的一般方法．值得指出的是，本节课学生在问题的引导下，自主探究研究策略，从而有利于培养学生的认知策略，发展元认识．

3．本节课充分开展探究活动，在探究过程中理解变换本质，促进理性思维；在探究过程中培养探究能力，形成探究习惯；在探究过程中完善知识结构，发展认知策略．

参考文献：

[1]《普通高中课程标准实验教科书数学必修4》（苏教版）江苏教育出版社 2015

[2] 数学教学心理学[M]．曹才翰章建跃．北京师范大学出版社，2006

[3] 数学思想概论. 第5辑——自然界中的数学模型[M]．史宁中．东北师范大学出版社

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