周军：素养立意：导向学习进阶的高中数学教学目标设计 ——以“函数单调性”为例

Original 周军文卫星数学生态课堂 2022-07-17

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本文发表在《中学数学（高中版）》2021年第1期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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作者简介：

周军，男，中学高级教师，无锡市教科研先进个人，无锡市教学能手，宜兴市教育科研能手，宜兴市优秀班主任。主持江苏省“十三五”教育科研规划课题——“学习进阶理论下的高中数学概念教学研究”，推行“进阶数学”的教学主张，逐步形成“本真、灵动、生长、迁移”的教学风格，并基于课题理念开发校本课程《进阶数学中的哲学叩问》。在《中学数学教学参考(上旬)》、《中国数学教育》、《数学通讯》、《中学数学月刊》、《数学教学》、《中学数学教学》、《中小学数学》、《中学数学》等主流杂志发表课题系列论文30余篇，其中4篇被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载。

教育格言：以学生的素养进阶为学科育人的价值旨归。

摘要：立足发展学生的数学核心素养，依据学习进阶的基本内涵，导向学习进阶的数学教学目标应关注指向学科本质的内容维度，指向问题解决的方法维度，指向高阶思维的价值维度指向实践创新的评价维度。以“函数单调性”为例，阐明进阶式数学教学目标设计的着手点、着眼点和着力点，为促进学生高阶认知导航，为助力教师专业发展奠基。

关键词：学习进阶数学核心素养教学目标教学设计

1学习进阶的含义

学习是基于原有经验的螺旋演进式动态过程，进阶是设定“脚踏点”为演进过程助力。学习进阶，作为独立的形态，于2004年在科学教育领域首次亮相。学习进阶可以理解为一种学习路径，也可以表现为一系列的认知序列。具体而言，描述学生在较长时间跨度内围绕同一主题学习所遵循的前后关联、逐步精致的逻辑进路。学习进阶观照课程与教学中的核心问题“应为学生设定怎样的学习路径”。

2数学情境创设的案例及探究

对于数学核心素养的理解，学习进阶依然是关键。数学核心素养是学生适应自身发展和社会发展需要的必备数学品格与关键能力，素养的形成过程凸显阶段性、连贯性、整体性和综合性的特征，其与学习进阶的含义是吻合的。史宁中教授以经典的三句话高度概括数学核心素养，即：“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”。显然，其内核在于抽象意识、推理能力和模型思想，充分体现学生认知水平的三个层次，都需要契合循序渐进的认知规律。也就是说，培育数学核心素养，一方面，要充分认识到学生认知发展具有阶段性和差异性；另一方面，学科教学应注重认知发展与核心素养的联系和融合，促进具有认知差异的学生在核心素养上取得不同的发展，实现核心素养的进阶式提高。

3导向学习进阶的数学教学目标设计

核心素养的养成依赖于主体的实践、感悟、反思和内化，而不是依靠外部的传递和灌输，数学教学目标设计应聚焦于“学”，服务于“学”。数学教学目标应回答“五问”（谁来做？做什么？如何做？凭什么做？做到什么程度？），也就是包括行为主体、行为客体、行为方式、行为条件、行为程度五个方面。下面以苏教版必修1“函数的单调性”为例，具体阐明进阶式数学教学目标的设计策略。

（一）进阶式目标设计的着手点

1.课程标准的提纲挈领

解读《普通高中数学课程标准（2017年版）》，发现对函数单调性内容的学习呈现螺旋上升，渐进发展的特点，与学习进阶的本质较为符合，带有明显的阶段性和序列性，具体学习要求参见表2。

课程性质	课程内容	课程要求
必修	函数的概念和性质	借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义
指数函数、对数函数和幂函数	1. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点 2. 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性和特殊点
三角函数	借助单位圆理解三角函数的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值
函数的应用	结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实意义
选择性必修	一元函数的导数及应用	1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 2. 体会导数和单调性、极值、最大（小）值的关系

表2 《普通高中数学课程标准（2017年版）》中函数单调性的学习要求

显而易见，数学课程标准从高观视角提出本课的教学目标应关注学科素养（抽象、推理、运算等）和思想方法（数形结合、特殊到一般、模型化等），将“立德树人”的育人方针有效落实。

2.教材内容的条分缕析

从教材编排逻辑的视角看，作为函数的重要性质之一——函数单调性，在中学数学中经历以下六个阶段，以实现“螺旋式上升”的进阶学习，认知线路由粗略到精细，由模糊到具体，由肤浅到深化。具体而言：

（1）在初中通过学习正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的图象形成对增减性的感性直观；

（2）用不等关系刻画几何直观，由图形的直观感知到抽象的形式化定义，其核心是通过在区间上任取，将无限化为有限；

（3）从抽象的定义到具象的初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等），通过这些初等函数的性质学习加深对函数单调性的理解和认识；

（4）数列，函数的又一特例，由于定义域的变化引起对单调性新的诠释，有必要甄别离散型和连续型函数的差异。

（6）导数，当平均变化率演变为瞬时变化率时，一种精简刻画函数单调性的方式自然生成，导数的符号区分函数的单调性，导数绝对值的大小反映增减变化的快慢。

显然，本课的内容承前启后，既对初中学习自然延续，也为高二、高三知识的深度推进埋下伏笔。

从数学方法论的视角看，函数单调性的学习为研究函数其他性质放样，具体研究思路为：直观感知——文字描述——抽象定义（定性描述）——定量刻画(代数运算），这是可迁移的数学活动经验。

从发展数学核心素养的视角看，函数单调性的建构，实则让学生体验数学抽象的过程，在理解定义中全称量词、存在量词时，促进学生的逻辑推理能力，在证明单调性过程中，有效发展学生的逻辑推理和数学运算的素养。

综合而言，本课的教学目标不仅要关注函数单调性这一陈述性知识，更要重视其背后蕴含的程序性知识和策略性知识，要引导学生习得方法论意义上的有价值的知识，即研究一类数学对象的目的、方法和经验。

（二）进阶式目标设计的着眼点

高一阶段，学生对函数单调性的认识经历了感知、想象、概括、固化、应用、结构六个重要节点，教师需要剖析认知进程从而确定实现目标的条件和达成目标的方式。依据数学核心素养的培养的阶段性、层次性和发展性，科学、准确地表达进阶式教学目标。

函数单调性的教学目标：

1.从数和形两个角度考察一次函数、二次函数、反比例函数，描述函数的

变化趋势，提升直观想象素养；（理解层级）

2.能借助具体函数的图象直观，经历符号化的过程，抽象出函数的单调性

概念，发展数学抽象素养；（分析层级）

3.能利用函数图象写出函数的单调区间，能利用定义证明一次函数、二次函数和反比例函数在某个区间的单调性，提升逻辑推理素养；（创新、应用层级）

4.积极参与同学间、师生间的交流活动，知道符号化表达数学概念的意义，体会数学概念学习的一般思路和方法。（迁移、评价层级）

（三）进阶式目标设计的着力点

进阶式教学目标具有内容概括性、贯穿始终性和全局统领性的特点，对教学设计、教学策略、教学活动有精准导向作用。

函数单调性的教学策略要着力于为撬动学生的高阶思维而设“阶”。教师可以从现实生活和数学内部创设情境，引导学生观察成绩、温度、股票等变化曲线，回顾一次函数、二次函数、反比例函数的图象，激活学生已有的认知经验，提出本课拟解决的本原性问题（大任务）：“依据对函数图象的感性直观，思考函数为什么会如此变化？怎样表达这种变化？”为了便于具体操作，进一步分解为若干子问题，串联学生的思维节点——“观”：学生对图象的变化趋势形成几何直观；“谈”：学生相互倾听，多元表达，尝试用自己的话描述变化趋势；“固”：教师搭建学习支架，引发学生质疑、思辨、提炼，学会函数单调性的符号化定义；“用”：学生通过代数运算证明函数单调性，深化概念的本质理解；“悟”：感悟知识内部结构和外部联系，积淀研究数学对象的一般方法和经验，为迁移至新的问题情境奠定基础。

4结语

导向学习进阶的数学教学目标统领发展学生高阶思维的教学设计，它明确规定学生的学习方向和预设水平，也有效校准教师的教学策略和教学行为。教师需要整体把握课程，深课理解学科本质，为促进学生的知识建构和问题解决设计学习路径，帮助学生丰富和完善思维体系。落实进阶式教学目标的设计和教学，既能助力学生的深度学习，也能促进教师的专业发展。

✎ 参考文献

[1]李善良．数学概念学习研究综述[J]．数学教育学报，2001，(03)：82-85．

[2]袁媛，朱宁波．探析国外科学教育领域的“学习进阶”研究[J]．外国中小学教育，2016，(07)：59-64．

[3]郭玉英，姚建欣．基于核心素养学习进阶的科学教学设计[J]．课程·教材·教法，2016，(11)：64-70．