张益明，纪妍琳：立体几何中的类比推理 ——基于数学史，提升专题学习质效

Original 张益明，纪妍琳文卫星数学生态课堂 2022-07-17

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发表于《数学教学》2021第1期

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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个人简介：张益明，2009年毕业于扬州大学数学科学学院，理学硕士。2009年至今任教于上海市奉贤中学，现担任高一数学备课组长一职，中学高级职称。曾获得2014年度上海市中青年教学评比二等奖，多次获得行政嘉奖。工作以来，我积极进行课堂教学探究，发表了10多篇论文.

1引言

2学生对于类比推理的认识

3史料的选择与运用

4教学设计与实施

基于史料创设的情境，师生由“圆与球”的类比总结出：类比推理的基础在于数学对象之间的相似性。由此，师生聚焦于本节课所研究的三角形（平面）与四面体（空间），探讨两者之间的相似性，为类比推理的进行确定基础。

对于三角形与四面体之间的相似性，有学生从三角形和四面体的组成元素加以说明，教师由此提出数学家德谟克利特和卡瓦列里对于平面与空间的观点进行补充。有的学生的想法与波利亚在其著作《数学与猜想》中的观点类似，教师在学生表述之后加以古今对照，增强学生数学学习的信心和对于类比推理的兴趣。

生：平面上三条线段围成一个三角形，并且三角形是平面中边数最少的多边形；空间中四个平面围成一个四面体，并且四面体是空间中面数最少的四面体。

师：嗯，非常好！数学家波利亚在其《数学与猜想》中指出，平面上两条直线不能围成一个有限的图形，然而三条却可以围成一个三角形，空间里三个平面不能围成一个有限的图形，然而四个平面却可以围成一个四面体。A同学的观点和数学家波利亚的观点如出一辙。并且我们还知道，多边形可以分割成多个三角形，多面体可以分割成多个四面体，两者都是最基本的图形之一。

师生共同总结，对于三角形和四面体之间的相似性作了充分的分析，解决了“为什么能进行类比”的问题。

（2）如何进行类比推理？

在明确了三角形与四面体之间具有相似性，能够进行类比之后，接下来的问题是“如何进行类比推理”。对于这一问题，教师设计了两个方向的类比推理。方向一是“从平面到空间的类比”，学生完成从平面到空间的定义类比、命题类比；方向二是“从空间到平面的类比”，学生完成命题的类比，并运用类比得到的新命题解决问题。

·从平面到空间的类比

从课前学习单的反馈来看，学生在类比推理时存在表述不严谨的问题，且学生几乎没有举出命题类比的例子。基于这一学情，教师将第一个活动设计为将平面中三角形的有关概念类比到空间四面体中。

师：同学们，直角三角形是一类非常特殊的三角形，如果将其定义类比到四面体中，可以得到怎样的定义呢?

生：把直角三角形的概念类比到四面体中，可以把“同一顶点上三个面互相垂直的四面体”称为直四面体。

师：“同一顶点上三个面”指的是什么呢？

生：四面体中，有其中三个面过同一个顶点，并且这三个面两两互相垂直。

师：四面体的任意三个面，是不是一定有且仅有一个公共点呢?

生: 噢！那改为“四面体中，有三个面两两互相垂直，则这样的四面体称为直四面体。”

师：非常好！同学们要注意一下，在我们进行数学表达时，一定要注意表述的规范和严谨，并且尽量地简练。

定义是特殊的命题，通过定义的类比，一方面，较为简单的定义的类比有助于学生掌握类比推理的基本形式，培养有逻辑地表达与交流的能力；另一方面，概念的类比是类比推理的基础，为后面的命题类比打好基础。在探究了定义的类比之后，教师接着引导学生进行命题的类比。

师：我们已经研究了图形的定义，接下来我们还可以研究图形的数量关系，比如初中学习过的三角形中最为著名的定理，即勾股定理，类比到直四面体P-ABC中是否有类似的定理？

教师通过阿耶波多、斐波那契等数学家故事揭示类比推理的或然性，让学生明确类比推理得到错误命题是正常的，鼓励学生大胆地作出数学猜想。数学史的融入，达成了“德育之效”。

最后，教师借由波利亚在其著作《数学的发现》中将勾股定理视为长方形对角线的性质，而将其类比到长方体中的例子，说明类比推理的方向是不唯一的，并借由波利亚在著作中所提出的“在平面几何与立体几何之间有若干类比关系，而不只一个特殊的类比”强调，类比推理的方向是多样的，鼓励学生在课下进行更多方向的尝试。

·从空间到平面的类比

从史料出发，前文所介绍的课堂活动均是“从平面到空间的类比”，为了培养学生的逆向思维和发散思维，教师以祖暅原理的相关史料为背景进行问题编制，给学生创设“从空间到平面”的类比推理机会。

师：我国南北朝时期的数学家祖暅在求球体积时，使用了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等^[9]。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。这一原理被后人称为祖暅原理，在西方，直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里重新发现。同学们把能否把祖暅原理类比到平面中，给出平面几何中的祖暅原理。

图2 祖暅原理图示

生：平面上，界于两条平行直线之间的两个平面图形，被任一平行于这两条直线的直线所截，如果截得的两个线段的长度相等，则这两个平面图形的面积相等。

师：非常好，“平面版祖暅原理”是正确的，具体的证明同学们等到大学阶段深入地学习微积分的知识便可以加以证明。

基于类比推理得到的“平面几何中的祖暅原理”，教师设置了两道练习：

算、研究方法等

借由波利亚有关类比推理的名言，教师对该节课的内容进行了升华，突出类比推理的价值。

师：波利亚曾说，类比是引路人。阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬动地球”，那么给我一种方法（类比），我们可以创造历史。

最后，教师回顾此节课中所提到的数学家通过类比推理获得数学发现的例子，启发学生思考对于更多不同数学对象的类比推理，并布置相应的课堂作业。

师：同学们可以课后尝试三角形中其他定理、结论并类比到四面体中。甚至你可以将平面几何中的其他图形类比到立体几何中，让类比成为你获得数学发现的引路人。

（1）从长方形到___________；

（2）从平行四边形到_________；

（3）从圆到______；

（4）从线线平行到______，线线垂直到______；

（5）从______到____ __。

5
学生反馈

课后，我们收集了学生对于本节课的课后反馈，以下为课后反馈的统计结果。

问题1：你希望老师在今后的数学复习课中融入数学史吗？为什么？

大部分学生（87.5%）表示希望教师在今后的数学复习课中融入数学史，提及的原因有“生动有趣”、“让我们知道数学发展过程中也是会出现错误的”、“有助于知识的理解”、“借鉴经验”等等，可见学生对于数学史在课堂中的融入持有积极的态度。

问题2：“通过类比推理，我们将会得到正确的数学命题”，对于这个观点，请从“赞同”、“反对”、“不清楚”当中选择一个最符合你的理解的态度。

大部分学生（77.6%）表示反对这一观点，少部分学生（17.4%）表示赞同这一观点，极少数学生（5%）表示赞同这一观点。与课前统计的数据进行比较可以发现，大部分学生通过此节课的学习明确了类比推理具有或然性，但是仍有少部分学生对于类比推理的或然性没有准确的认识，说明类比推理的或然性是类比推理教学的一大难点，而数学史的融入有助于突破该教学难点。

问题3：请你对下列命题进行类比推理，得到新的命题。

三角形中任意两边之和大于第三边。

类比到四面体：

对于这一问题，大部分的学生（65%）得到命题“四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”，说明通过此节课的学习，大部分学生掌握了类比推理的基本形式。

6结语

本节课是一节以类比推理为主线的立体几何专题课，教师从学生的学习经验、类比推理有关的生活实例和数学史实例出发引入此节课的主题。在进行命题的类比之前，师生先共同探讨了“三角形”与“四面体”之间的相似性，以回答“为什么能类比”的问题，在此基础上，教师引导学生进行了从平面到空间的类比、从空间到平面的类比，探讨了“如何进行类比”。在学习类比推理的过程中，教师揭示了类比推理的或然性、方向的多样性。

✎ 参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准(2017年版2020修订)[S]. 北京: 人民教育出版社, 2020．

[2] 熊惠民. 数学思想方法通论[M]. 北京: 科学出版社, 2010.

[3] 史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J]. 数学教育学报, 2016, 25(04): 1-16+46.

[4] 顾泠沅. 数学思想方法[M]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 2016.

[5] 波利亚. 数学与猜想——数学中的归纳和类比[M]. 李心灿, 等, 译. 北京: 科学出版社, 2016.

[6] 汪晓勤. 欧拉与自然数平方倒数和[J]. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 2002 (4): 29-33.

[7] 汪晓勤. 从九点圆到十二点球[J]. 中学教研（数学）, 2002(9): 40.

[8] 阿基米德. 阿基米德全集[M]. 朱恩宽, 常心怡, 译.修订版.西安: 陕西科学技术出版社, 2010.

[9] 杜瑞芝. 数学史辞典新编[M]. 济南: 山东教育出版社. 2017.

[10] 李文林. 数学珍宝——历史文献精选[M]. 北京: 科学出版社, 1998.

[11] 汪晓勤. HPM: 数学史与数学教育[M]. 北京: 科学出版社, 2017.